ラプラス変換に関する問題

■問題

次の式をラプラス変換を用いて，一般解を求めなさい．

$y^{″} + 3 y = 0$ 　　(初期条件： $y (0) = 1$ ， $y^{'} (0) = 3$ )

$y = \sqrt{3} \sin \sqrt{3} t + \cos \sqrt{3} t$

ラプラス変換の微分則を用いて解く．

ラプラス変換すると

$y \overset{L}{\to} Y (s)$

$y^{'} \overset{L}{\to} s Y (s) - y (0)$

$y^{″} \overset{L}{\to} s^{2} Y (s) - s \cdot y (0) - y^{'} (0)$

となり，これらを式に代入

$s^{2} Y (s) - s y (0) - y^{'} (0) + 3 Y (s) = 0$

初期条件より

$s^{2} Y (s) - s - 3 + 3 Y (s) = 0$

$(s^{2} + 3) Y_{(s)} - s - 3 = 0$

$Y (s) = \frac{s + 3}{s^{2} + 3}$

よって

$Y (s) = \frac{s}{s^{2} + 3} + \frac{3}{s^{2} + 3}$

逆ラプラス変換をする　⇒ラプラス変換表はこちら

$y = \sqrt{3} \sin \sqrt{3} t + \cos \sqrt{3} t$

$λ^{2} + 3 = 0$

より

$λ = \pm \sqrt{3}$

よって一般解は

$y = C_{1} \sin \sqrt{3} t + C_{2} \cos \sqrt{3} t$ 　　(ただし $C_{1}, C_{2}$ は任意定数)

$y^{'} = \sqrt{3} C_{1} \cos \sqrt{3} t - \sqrt{3} C_{2} \sin \sqrt{3} t$

初期条件より

$y (0) = C_{2}$ 　･･････(1)

$y^{'} (0) = \sqrt{3} C_{1}$ 　･･････(2)

(1)，(2)より

$C_{1} = \sqrt{3}, C_{2} = 1$

よって

$y = \sqrt{3} \sin \sqrt{3} t + \cos \sqrt{3} t$

最終更新日： 2023年6月6日