加法定理の問題

■問題

$\sin 18 °$ $\sin 18 °$ の値を求めよ．

■動画解説

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■答

$sin 18 ° = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{4}$ $sin 18 ° = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{4}$

■ヒント

$5 θ = 90 °$ $5 θ = 90 °$ を作り， 2倍角の公式， 3倍角の公式を利用して解く．

また，図形を用いて解く方法もある．別解

■解き方

$θ = 18 °$ $θ = 18 °$ とおくと，

$5 θ = 90 °$ $5 θ = 90 °$

となる． 2倍角の公式， 3倍角の公式を利用するために

$3 θ = 90 ° - 2 θ$ $3 θ = 90 ° - 2 θ$

と式を変形する．よって

$cos 3 θ = cos (90 ° - 2 θ)$ $cos 3 θ = cos (90 ° - 2 θ)$ ･･････(1)

が成り立つ．

$cos (90 ° - 2 θ) = sin 2 θ$ $cos (90 ° - 2 θ) = sin 2 θ$ ･･････(2)

$(∵ cos (90 ° - θ) = sin θ$ $(∵ cos (90 ° - θ) = sin θ$ ⇒ 参照 )

より(1)は

$cos 3 θ = sin 2 θ$ $cos 3 θ = sin 2 θ$ ･･････(3)

となる．

$cos 3 θ = 4 {cos}^{3} θ - 3 cos θ$ $cos 3 θ = 4 {cos}^{3} θ - 3 cos θ$ ･･････(4)

( $∵$ $∵$ 3倍角の公式を利用)

$sin 2 θ = 2 sin θ cos θ$ $sin 2 θ = 2 sin θ cos θ$ ･･････(5)

( $∵$ $∵$ 2倍角の公式を利用)

(4)，(5)を(3)に代入すると

$4 {cos}^{3} θ - 3 cos θ = 2 sin θ cos θ$ $4 {cos}^{3} θ - 3 cos θ = 2 sin θ cos θ$ ･･････(6)

となる． $cos θ \neq 0$ $cos θ \neq 0$ なので，両辺を $cos θ$ $cos θ$ で割ると

$4 {cos}^{2} θ - 3 = 2 sin θ$ $4 {cos}^{2} θ - 3 = 2 sin θ$

$4 (1 - {sin}^{2} θ) - 3 = 2 sin θ$ $4 (1 - {sin}^{2} θ) - 3 = 2 sin θ$

(∵ ${sin}^{2} θ + {cos}^{2} θ = 1$ ${sin}^{2} θ + {cos}^{2} θ = 1$ を利用)

となる． $sin θ = X$ $sin θ = X$ とおいて式を整理すると

$4 (1 - X^{2}) - 3 = 2 X$ $4 (1 - X^{2}) - 3 = 2 X$

$- 4 X^{2} + 1 - 2 X = 0$ $- 4 X^{2} + 1 - 2 X = 0$

$4 X^{2} + 2 X - 1 = 0$ $4 X^{2} + 2 X - 1 = 0$

となる．解の公式より

$X = \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} + 4 \cdot 1}}{4} = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{4}$ $X = \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} + 4 \cdot 1}}{4} = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{4}$

$X = sin θ = sin 18 ° > 0$ $X = sin θ = sin 18 ° > 0$ より

$X = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{4}$ $X = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{4}$

以上より

$sin 18 ° = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{4}$ $sin 18 ° = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{4}$

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最終更新日： 2025年3月3日

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