三角関数の方程式に関する問題

■問題

次の方程式を解け．ただし， $0 ≦ θ < π$ $0 ≦ θ < π$ とする．

$\sqrt{3} tan θ = - 1$ $\sqrt{3} tan θ = - 1$

■動画解説

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■答

$θ = \frac{5}{6} π$ $θ = \frac{5}{6} π$

■ヒント

\tan θ = c

$\tan θ = c$ の求め方

■解説

$\tan θ$ $\tan θ$ の値は，単位円上の点の座標を用いると

$tan θ =$ $tan θ =$	$y$ $y$ 座標
	$x$ $x$ 座標

になる(ここを参照)．

しかし， $tan θ$ $tan θ$ を求める場合，底辺の長さが1である直角三角形を描くと高さが $|tan θ|$ $|tan θ|$ になるので都合がよい．よって，以下のような作図をする．

まず，単位円を描く

$x = 1$ $x = 1$ ， $x = - 1$ $x = - 1$ の直線を引く．

$\sqrt{3} tan θ = - 1$ $\sqrt{3} tan θ = - 1$ より， $\tan θ = - \frac{1}{\sqrt{3}}$ $\tan θ = - \frac{1}{\sqrt{3}}$ である．よって， $x = 1$ $x = 1$ 上の $y$ $y$ の値が $- \frac{1}{\sqrt{3}}$ $- \frac{1}{\sqrt{3}}$ となるところを点 $P$ $P$ とする（ $tan θ$ $tan θ$ と直線 $x = 1$ $x = 1$ の関係を参照）．

点 $P$ $P$ と原点 $O$ $O$ を通る直線を描き， $x = - 1$ $x = - 1$ との交点を点 $Q$ $Q$ とする．

点 $P$ $P$ ，点 $Q$ $Q$ から $x$ $x$ 軸に垂線を下ろし，それぞれの足を $R$ $R$ ， $S$ $S$ とする．

直角三角形 $OPR$ $OPR$ と直角三角形 $OQS$ $OQS$ を描く．

この作図により

$tan (π - (∠ QOS)) = \tan θ_{1} = - \frac{1}{\sqrt{3}}$ $tan (π - (∠ QOS)) = \tan θ_{1} = - \frac{1}{\sqrt{3}}$

$tan θ_{2} = \tan (θ_{1} + π) = \tan θ_{1} = - \frac{1}{\sqrt{3}}$ $tan θ_{2} = \tan (θ_{1} + π) = \tan θ_{1} = - \frac{1}{\sqrt{3}}$ (ここを参照)

となる．

$OS = 1$ $OS = 1$ ， $QS = \frac{1}{\sqrt{3}}$ $QS = \frac{1}{\sqrt{3}}$ より，基本的な三角形と照らし合わせると

$∠ QOS = \frac{1}{6} π$ $∠ QOS = \frac{1}{6} π$ ， $θ_{1} = π - \frac{1}{6} π = \frac{5}{6} π$ $θ_{1} = π - \frac{1}{6} π = \frac{5}{6} π$

となる．

$∠ QOS = \frac{1}{6} π$ $∠ QOS = \frac{1}{6} π$ より

$θ_{2} = π + \frac{5}{6} π = \frac{11}{6} π$ $θ_{2} = π + \frac{5}{6} π = \frac{11}{6} π$

となる．

$0 ≦ θ < π$ $0 ≦ θ < π$ であるから(円周上の赤線に対応)， $θ_{2}$ $θ_{2}$ は範囲外となる．

よって，求める角は

$θ = \frac{5}{6} π$ $θ = \frac{5}{6} π$

となる．

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2025年2月13日

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