三角関数の方程式に関する問題

■問題

次の方程式を解け．ただし， $0 ≦ θ ≦ 2 π$ とする．

$2 \sin (2 θ + \frac{1}{6} π) = - 1$

$θ = \frac{1}{2} π ， \frac{5}{6} π ， \frac{3}{2} π ， \frac{11}{6} π$

$2 θ + \frac{1}{6} π = t$

と変数 $θ$ を変数 $t$ に置き換えて計算を行う．

$2 θ + \frac{1}{6} π = t$ 　･･････(1)

と置く．与式は

$2 \sin t = - 1$

$\sin t = - \frac{1}{2}$ 　･･････(2)

となる．

(2)の変数 $t$ の範囲を(1)の関係より求める．

$0 ≦ θ ≦ 2 π$

$0 ≦ 2 θ ≦ 4 π$

$\frac{1}{6} π ≦ 2 θ + \frac{1}{6} π ≦ 4 π + \frac{1}{6} π$

$\frac{1}{6} π ≦ t ≦ \frac{25}{6} π$ 　･･････(3)

(3)の範囲で(2)を解く．

以下の問題を参考にする.

次の方程式を解け．ただし， $0 ≦ θ ≦ 2 π$ とする．

$\sin θ = - \frac{1}{2}$ 　⇒ 解

$t$ は

$t = \frac{7}{6} π ， \frac{11}{6} π ， (\frac{7}{6} π + 2 π) ， (\frac{11}{6} π + 2 π)$

$t = \frac{7}{6} π ， \frac{11}{6} π ， \frac{19}{6} π ， \frac{23}{6} π$

(1)の関係を用いて， $t$ を $θ$ に戻す．

$2 θ + \frac{1}{6} π = \frac{7}{6} π ， \frac{11}{6} π ， \frac{19}{6} π ， \frac{23}{6} π$

$2 θ = π ， \frac{5}{3} π ， 3 π ， \frac{11}{3} π$

$θ = \frac{1}{2} π ， \frac{5}{6} π ， \frac{3}{2} π ， \frac{11}{6} π$

最終更新日： 2023年4月8日