問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

三角関数の方程式に関する問題

■問 題

次の方程式を解け．ただし， ${\displaystyle 0\leqq \theta <2\pi }$ とする．

${\displaystyle 2\sin \left(2\theta +\frac{1}{6}\pi \right)=-1}$

■答

${\displaystyle \theta =\frac{1}{2}\pi ,\frac{5}{6}\pi ,\frac{3}{2}\pi ,\frac{11}{6}\pi }$

■ヒント

${\displaystyle 2\theta +\frac{1}{6}\pi =t}$

と変数 ${\displaystyle \theta }$ を変数 ${\displaystyle t}$ に 置き換えて計算を行う．

$\sin \theta =c$ の解き方

■解説

${\displaystyle 2\theta +\frac{1}{6}\pi =t}$ ･･････(1)

と置く．与式は

${\displaystyle 2\sin t=-1}$

${\displaystyle \sin t=-\frac{1}{2}}$ ･･････(2)

となる．

(2)の変数 ${\displaystyle t}$ の範囲を(1)の関係より求める．

${\displaystyle 0\leqq \theta <2\pi }$

${\displaystyle 0\leqq 2\theta <4\pi }$

${\displaystyle \frac{1}{6}\pi \leqq 2\theta +\frac{1}{6}\pi <4\pi +\frac{1}{6}\pi }$

${\displaystyle \frac{1}{6}\pi \leqq t<\frac{25}{6}\pi }$ ･･････(3)

(3)の範囲で(2)を解く．

以下の問題を参考にする.

${\displaystyle t}$ は

${\displaystyle t=\frac{7}{6}\pi ,\frac{11}{6}\pi ,\frac{7}{6}\pi +2\pi ,\frac{11}{6}\pi +2\pi }$

${\displaystyle t=\frac{7}{6}\pi ,\frac{11}{6}\pi ,\frac{19}{6}\pi ,\frac{23}{6}\pi }$

(1)の関係を用いて， ${\displaystyle t}$ を ${\displaystyle \theta }$ に戻す．

${\displaystyle 2\theta +\frac{1}{6}\pi =\frac{7}{6}\pi ,\frac{11}{6}\pi ,\frac{19}{6}\pi ,\frac{23}{6}\pi }$

${\displaystyle 2\theta =\pi ,\frac{5}{3}\pi ,3\pi ,\frac{11}{3}\pi }$

${\displaystyle \theta =\frac{1}{2}\pi ,\frac{5}{6}\pi ,\frac{3}{2}\pi ,\frac{11}{6}\pi }$

　

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最終更新日： 2025年3月1日

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