問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int \frac{e^{2x}}{e^{2x}-1}dx}$ 　　

■答

${\displaystyle \frac{1}{2}log\left|e^{2x}-1\right|+C}$　　（${\displaystyle C}$ は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分 より

${\displaystyle \int \frac{1}{x}dx=log\left|x\right|+C}$　･･････${\displaystyle \left(1\right)}$          （C は積分定数）

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle \int \frac{e^{2x}}{e^{2x}-1}dx}$ 　　

${\displaystyle e^{2x}-1=t}$　とおいて，置換積分する．（置換積分の詳細は置換積分法を参照）

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=2e^{2x}}$ , 　${\displaystyle dt=2e^{2x}·dx}$ , 　∴ ${\displaystyle e^{2x}dx=\frac{1}{2}dt}$ 　

与式${\displaystyle =\int \frac{1}{t}·\frac{1}{2}dt}$ 　　

（置換積分法の公式にあてはめる）

${\displaystyle =\frac{1}{2}\int \frac{1}{t}dt}$ 　　

（${\displaystyle \frac{1}{2}}$を積分記号${\displaystyle \int }$ の前に移せるのは， 不定積分の基本式の${\displaystyle 1}$ つ目の式を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{2}log\left|t\right|+C}$　

（方針の公式${\displaystyle \left(1\right)}$にあてはめる）

${\displaystyle =\frac{1}{2}log\left|e^{2x}-1\right|+C}$ 　　

（最初に ${\displaystyle e^{2x}-1=t}$ と置換したので，元に戻す）

■別解（1）

${\displaystyle e^{2x}=t}$ 　とおいて，置換積分する．（置換積分の詳細は置換積分法を参照）

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=2e^{2x}}$ , 　${\displaystyle dt=2e^{2x}·dx}$ , 　∴ ${\displaystyle e^{2x}dx=\frac{1}{2}dt}$ 　

与式${\displaystyle =\int \frac{1}{t-1}·\frac{1}{2}dt}$ 　　

（置換積分法の公式にあてはめる）

${\displaystyle =\frac{1}{2}\int \frac{1}{t-1}dt}$ 　　

（${\displaystyle \frac{1}{2}}$を積分記号${\displaystyle \int }$ の前に移せるのは， 不定積分の基本式の${\displaystyle 1}$ つ目の式を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{2}log\left|t-1\right|+C}$ 　　

（方針の公式${\displaystyle \left(1\right)}$にあてはめる）

${\displaystyle =\frac{1}{2}log\left|e^{2x}-1\right|+C}$ 　　

（最初に ${\displaystyle e^{2x}=t}$ と置換したので，元に戻す）

■別解（2）

積分の計算手順 より

${\displaystyle \int \frac{f^{\prime }\left(x\right)}{f\left(x\right)}dx=log\left|f\left(x\right)\right|+C}$　･･････${\displaystyle \left(2\right)}$ 　

の公式を用いる．

${\displaystyle {\left(e^{2x}-1\right)}^{\prime }=2e^{2x}}$ 　より　 ${\displaystyle \frac{e^{2x}}{e^{2x}-1}=\frac{1}{2}·\frac{2e^{2x}}{e^{2x}-1}=\frac{1}{2}·\frac{{\left(e^{2x}-1\right)}^{\prime }}{e^{2x}-1}}$ 　と考える．

与式${\displaystyle =\int \frac{1}{2}·\frac{{\left(e^{2x}-1\right)}^{\prime }}{e^{2x}-1}dx}$ 　　

${\displaystyle =\frac{1}{2}\int \frac{{\left(e^{2x}-1\right)}^{\prime }}{e^{2x}-1}dx}$ 　　

（${\displaystyle \frac{1}{2}}$ を積分記号${\displaystyle \int }$ の前に移せるのは，不定積分の基本式の${\displaystyle 1}$ つ目の式を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{2}log\left|e^{2x}-1\right|+C}$ 　　

（公式${\displaystyle \left(2\right)}$にあてはめる）

　

■確認問題

求まった答え 　${\displaystyle \frac{1}{2}log\left|e^{2x}-1\right|+C}$ 　を微分し，積分前の式 　${\displaystyle \frac{e^{2x}}{e^{2x}-1}}$ 　に戻ることを確認しなさい．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日

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