不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$\int \cos 3 x \cos 5 x d x$ 　　

$\frac{1}{16} sin 8 x + \frac{1}{4} sin 2 x + C$ 　　（ $C$ は積分定数）

$\int cos x d x = sin x + C$ 　　（ $C$ は積分定数）

の公式を用いる．

$cos (3 x + 5 x)$ $= cos 3 x cos 5 x - sin 3 x sin 5 x$ 　･･････(3)

$cos (3 x - 5 x)$ $= cos 3 x cos 5 x + sin 3 x sin 5 x$ 　･･････(4)

(3)＋(4)より

$cos (3 x + 5 x) + cos (3 x - 5 x)$ $= 2 sin 3 x sin 5 x$ 　　

$cos 3 x cos 5 x = \frac{1}{2} {cos 8 x + cos (- 2 x)}$ 　　

ここで， $cos (- x) = cos x$ 　なので（三角関数の関係式を参照）

$cos 3 x cos 5 x = \frac{1}{2} (cos 8 x + cos 2 x)$

となる．（三角関数の積和の公式の $2$ つ目の式を参照）

与式 $= \int \frac{1}{2} (cos 8 x + cos 2 x) d x$ 　

$= \frac{1}{2} (\int cos 8 x d x + \int cos 2 x d x)$ 　　

（ $\frac{1}{2}$ を積分記号 $\int$ の前に移せるのは，不定積分の基本式を参照）

$= \frac{1}{2} (\frac{1}{8} sin 8 x + \frac{1}{2} sin 2 x) + C$ 　　

（方針の公式にあてはめた）

$= \frac{1}{16} sin 8 x + \frac{1}{4} sin 2 x + C$ 　　

求まった答え　 $\frac{1}{16} sin 8 x + \frac{1}{4} sin 2 x + C$ を微分し，積分前の式　 $cos 3 x cos 5 x$ に戻ることを確認しなさい．

学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日