問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \cos 3x\cos 5xdx}}$ 　　

■答

${\displaystyle \frac{1}{16}sin8x+\frac{1}{4}sin2x+C}$　　（C は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分 より

${\displaystyle \int cosxdx=sinx+C}$　　（${\displaystyle C}$ は積分定数）

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle \cos }$ の加法定理 より

${\displaystyle cos\left(3x+5x\right)}$${\displaystyle =cos3xcos5x-sin3xsin5x}$　･･････(3)

（三角関数の積和の公式の導出を参照）

${\displaystyle cos\left(3x-5x\right)}$${\displaystyle =cos3xcos5x+sin3xsin5x}$　･･････(4)

(3)＋(4)より

${\displaystyle cos\left(3x+5x\right)+cos\left(3x-5x\right)}$${\displaystyle =2sin3xsin5x}$ 　　

${\displaystyle cos3xcos5x=\frac{1}{2}\left\{cos8x+cos\left(-2x\right)\right\}}$ 　　

ここで，${\displaystyle cos\left(-x\right)=cosx}$ 　なので（三角関数の関係式を参照）

${\displaystyle cos3xcos5x=\frac{1}{2}\left(cos8x+cos2x\right)}$

となる．（三角関数の積和の公式の${\displaystyle 2}$ つ目の式を参照）

与式${\displaystyle =\int \frac{1}{2}\left(cos8x+cos2x\right)dx}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(\int cos8xdx+\int cos2xdx\right)}$ 　　

（${\displaystyle \frac{1}{2}}$ を積分記号${\displaystyle \int }$ の前に移せるのは，不定積分の基本式を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{8}sin8x+\frac{1}{2}sin2x\right)+C}$ 　　

（方針の公式にあてはめた）

${\displaystyle =\frac{1}{16}sin8x+\frac{1}{4}sin2x+C}$ 　　

　

■確認問題

求まった答え 　${\displaystyle \frac{1}{16}sin8x+\frac{1}{4}sin2x+C}$ を微分し，積分前の式 　${\displaystyle cos3xcos5x}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日

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