不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$\int \sin 3 x \sin 5 x d x$ 　　

$- \frac{1}{16} sin 8 x + \frac{1}{4} sin 2 x + C$ 　　（ $C$ は積分定数）

三角関数の積和の公式を用い，積分公式が使える形に式を変形する．

$\int cos x d x = sin x + C$ 　　（ $C$ は積分定数）

の公式を用いる．

$cos (3 x + 5 x)$ $= cos 3 x cos 5 x - sin 3 x sin 5 x$ 　･･････(1)

$cos (3 x - 5 x)$ $= cos 3 x cos 5 x + sin 3 x sin 5 x$ 　･･････(2)

(1)－(2) より　

$cos (3 x + 5 x) - cos (3 x - 5 x)$ $= - 2 sin 3 x sin 5 x$ 　　

$sin 3 x sin 5 x$ $= - \frac{1}{2} {cos 8 x - cos (- 2 x)}$ 　　

ここで， $cos (- x) = cos x$ 　なので（三角関数の関係式を参照）

$sin 3 x sin 5 x$ $= - \frac{1}{2} (cos 8 x - cos 2 x)$

与式 $= \int - \frac{1}{2} (cos 8 x - cos 2 x) d x$ 　

$= - \frac{1}{2} (\int cos 8 x d x - \int cos 2 x d x)$ 　　

( $- \frac{1}{2}$ を積分記号 $\int$ の前に移せるのは，不定積分の基本式を参照）

$= - \frac{1}{2} (\frac{1}{8} sin 8 x - \frac{1}{2} sin 2 x) + C$ 　

（方針の公式にあてはめる）

$= - \frac{1}{16} sin 8 x + \frac{1}{4} sin 2 x + C$ 　　

求まった答え　 $- \frac{1}{16} sin 8 x + \frac{1}{4} sin 2 x + C$ 　を微分し，積分前の式　 $\sin 3 x \sin 5 x$ に戻ることを確認しなさい．

学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日