不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$\int \frac{1}{\tan^{2} 2 x} d x$

■解説動画

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■答

$- \frac{1}{2} \cot 2 x - x + C$ （ $C$ は積分定数）

■ヒント

被積分関数 $\frac{1}{\tan^{2} 2 x}$ を式変形し，積分できる形にする．

以下の関係も利用する．

■解説

$\int \frac{1}{\tan^{2} 2 x} d x = \int \frac{\cos^{2} 2 x}{\sin^{2} 2 x} d x$

$= \int \frac{1 - \sin^{2} 2 x}{\sin^{2} 2 x} d x$

$= \int (\frac{1}{\sin^{2} 2 x} - 1) d x$

$\int f (a x + b) d x$ $= \frac{1}{a} F (a x + b) + C$ ･･････(1)

$\int \frac{1}{\sin^{2} x} d x = - \cot x + C$ この積分はここを参照　･･････(2)

(1)，(2)を組み合わせて積分する．

$= - \frac{1}{2} \cot 2 x - x + C$ ･･････(3)

■別解

$\tan x = t$ とおく置換積分法で解く．

$\frac{d t}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} x} = 1 + \tan^{2} x = 1 + t^{2}$ →　 $d x = \frac{1}{1 + t^{2}} d t$ ･･････(4)

$\tan 2 x = \frac{\sin 2 x}{\cos 2 x}$ $= \frac{2 \sin x \cos x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x}$ $= \frac{2}{\frac{\cos^{2} x - \sin^{2} x}{\sin x \cos x}}$ $= \frac{2}{\frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\cos x}}$ $= \frac{2}{\frac{1}{\tan x} - \tan x}$ $= \frac{2}{\frac{1}{t} - t}$ $= \frac{2 t}{1 - t^{2}}$ ･･････(5)

(4)，(5)より

$\int \frac{1}{\tan^{2} 2 x} d x$ $= \int {(\frac{1 - t^{2}}{2 t})}^{2} \frac{1}{1 + t^{2}} d t$

$= \frac{1}{4} \int \frac{{(1 - t^{2})}^{2}}{t^{2} (1 + t^{2})} d t$

$= \frac{1}{4} \int \frac{t^{4} - 2 t^{2} + 1}{t^{4} + t} d t$

$= \frac{1}{4} \int \frac{t^{4} + t^{2} - 3 t^{2} + 1}{t^{4} + t} d t$

$= \frac{1}{4} \int (1 - \frac{3 t^{2} - 1}{t^{4} + t}) d t$

$\frac{3 t^{2} - 1}{t^{4} + t}$ を部分分数に分解する.

$\frac{3 t^{2} - 1}{t^{4} + t} = \frac{3 t^{2} - 1}{t^{2} (t^{2} + 1)}$ $= \frac{A}{t} + \frac{B}{t^{2}} + \frac{C t + D}{t^{2} + 1}$

とおく．

$\frac{A}{t} + \frac{B}{t^{2}} + \frac{C t + D}{t^{2} + 1}$ $= \frac{A t (t^{2} + 1) + B (t^{2} + 1) + (C t + D) t^{2}}{t^{2} (t^{2} + 1)}$

$= \frac{A t^{3} + A t + B t^{2} + B + C t^{3} + D t^{2}}{t^{2} (t^{2} + 1)}$

$= \frac{(A + C) t^{3} + (B + D) t^{2} + A t + B}{t^{2} (t^{2} + 1)}$

よって，分子の係数を比較することにより

$\{\begin{cases} A + C = 0 \\ B + D = 3 \\ A = 0 \\ B = - 1 \end{cases}$

が得られ，この連立方程式を解くと

$A = 0$ ， $B = - 1$ ， $C = 0$ ， $D = 4$

となる.したがって

$\frac{3 t^{2} - 1}{t^{4} + t} = = \frac{- 1}{t^{2}} + \frac{4}{t^{2} + 1}$

となる．

$= \frac{1}{4} \int (1 + \frac{1}{t^{2}} - \frac{4}{t^{2} + 1}) d t$

$= \frac{1}{4} (t - \frac{1}{t} - 4 \tan^{- 1} t) + C$

変数を $x$ から $t$ に戻す．

$= \frac{1}{4} (- \frac{1 - t^{2}}{t} - 4 \tan^{- 1} t) + C$

(5)より， $\frac{1 - t^{2}}{t} = \frac{2 (1 - t^{2})}{2 t}$ $= \frac{2}{\frac{2 t}{1 - t^{2}}}$ $= \frac{2}{\tan 2 x}$

$= \frac{1}{4} (- \frac{2}{\tan 2 x} - 4 \tan^{- 1} (\tan x)) + C$

$\tan^{- 1} (\tan x) = a$ とおくと、 $\tan a = \tan x$ となり， $a = x$ ．よって， $\tan^{- 1} (\tan x) = x$

$= - \frac{1}{2} \cot 2 x - x + C$

■確認問題

求まった答え $- \frac{1}{2} \cot 2 x - x + C$ を微分し，積分前の式 $\frac{1}{{tan}^{2} 2 x}$ に戻ることを確認しなさい．

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2025年2月21日