問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int 5^{x}dx}$ 　 　

■答

${\displaystyle \frac{5^x}{log5}dx+C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分の 指数／対数の積分 よりこの

${\displaystyle \int a^{x}dx=\frac{a^x}{loga}+C}$　　（$C$は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle \int 5^{x}dx}$${\displaystyle =\frac{5^x}{log5}dx+C}$　

（この問題では(1)において ${\displaystyle a=5}$ である．

●別計算

被積分関数の指数関数の底を $5$ から $e$ に変換してから積分する．変換方法かここを参照．

${\displaystyle {\displaystyle \int 5^{x}dx}={\displaystyle \int e^{\log 5^x}dx}}$

${\displaystyle ={\displaystyle \int e^{x\log 5}dx}}$

${\displaystyle x\log 5=t}$ とおいて置換積分をする．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=\log 5}$ より${\displaystyle dx=\frac{1}{\log 5}dt}$ ．よって

${\displaystyle ={\displaystyle \int e^t\frac{1}{\log 5}dt}}$

${\displaystyle =\frac{1}{\log 5}{\displaystyle \int e^{t}dt}}$

${\displaystyle =\frac{1}{\log 5}{e}^t+C}$

変数を $x$ から $t$ に戻す．

${\displaystyle =\frac{1}{\log 5}{e}^{x\log 5}+C}$

${\displaystyle =\frac{5^x}{\log 5}+C}$

　

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle \frac{5^x}{log5}dx+C}$ を微分し，積分前の式 ${\displaystyle 5^x}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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最終更新日： 2024年8月6日

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