問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x-6}}dx}}$

■解説動画

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■答

${\displaystyle 2\sqrt{x-6}+C}$ （ $C$ は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}$ （ $C$ は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x-6}}dx}}$  

計算しやすいように， ${\displaystyle \frac{\text{1}}{\sqrt{x-6}}}$ を累乗の形に変換すると

${\displaystyle \frac{\text{1}}{\sqrt{x-6}}={\sqrt{x-6}}^{-1}={\left(x-6\right)}^{-\frac{1}{2}}}$

となる．よって

${\displaystyle ={\displaystyle \int {\left(x-6\right)}^{-\frac{1}{2}}dx}}$  

${\displaystyle =\frac{1}{-\frac{1}{2}+1}{\left(x-6\right)}^{-\frac{1}{2}+1}+C}$  

(この公式：） ${\displaystyle \int f\left(ax+b\right)dx=\frac{1}{a}F\left(ax+b\right)+C}$ と(1)を用いた)

$=2{\left(x-6\right)}^{\frac{1}{2}}+C$

${\displaystyle =2\sqrt{x-6}+C}$ （ $C$ は積分定数）

　

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最終更新日： 2025年7月25日

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