問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{2x+2}{x^2+2x-4}dx}}$ 　　

■答

${\displaystyle \log \left|x^2+2-4\right|+C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

分母を微分すると分子になる→置換積分法を考える

基本となる関数の積分 より

${\displaystyle \int \frac{1}{x}dx=log\left|x\right|+C}$　　（$C$は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle x^2+2x-4=t}$ 　とおくと（置換積分の詳細は置換積分法を参照） 　

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=2x+2}$　→　${\displaystyle \left(2x+2\right)dx=dt}$

となる．よって

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int \frac{1}{t}dt}}$${\displaystyle =\log \left|t\right|+C}$ 　　

（(1)の公式を用いた）

${\displaystyle =\log \left|x^2+2x-4\right|+C}$　　（$C$は積分定数）

（${\displaystyle x^2+2x-4=t}$ をもとに戻した）

●参考

以下の公式を用いてもよい

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{f^{\prime }\left(x\right)}{f\left(x\right)}dx}=\log \left|f\left(x\right)\right|+C}$

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日

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