問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \sin 2xdx}}$

■答

${\displaystyle -\frac{1}{2}\cos 2x+C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

不定積分の基本式(1)より

${\displaystyle {\displaystyle \int cf\left(x\right)dx=c{\displaystyle \int f\left(x\right)dx}}}$     (ただし，${\displaystyle c}$ は定数)　･･････(1)

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int \sin xdx=-\cos x+C}}$　　（$C$は積分定数） 　･･････(2)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \sin 2xdx}}$

${\displaystyle 2x=t}$ と置くと（置換積分の詳細は置換積分法を参照）．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=2}$ 　→　${\displaystyle dx=\frac{1}{2}dt}$

よって

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int \sin t\cdot \frac{1}{2}dt}}$

（${\displaystyle 2x=t}$ ,${\displaystyle dx=\frac{1}{2}dt}$ を与式に代入）

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\displaystyle \int \sin tdt}}$

（${\displaystyle \frac{1}{2}}$ が${\displaystyle {\displaystyle \int }}$ の前にくる理由は(1)を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot \left(-\cos t\right)+C}$　（$C$は積分定数）

（(2)を参照）

${\displaystyle =-\frac{1}{2}\cos 2x+C}$　（$C$は積分定数）

(${\displaystyle t=2x}$ より変数を$t$から$x$元に戻した)

　

ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>積分の問題>>不定積分の問題>>${\displaystyle {\displaystyle \int \sin 2xdx}}$

最終更新日： 2023年11月24日

[ページトップ]

利用規約

google translate (English version)