問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int {\cos }^{2}xdx}}$

■答

■ヒント

2倍角の公式より

${\displaystyle \cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1}$　･･････(1)

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int x^{\alpha }}dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}$　　（$C$は積分定数）　･･････(2)

${\displaystyle {\displaystyle \int \cos xdx=\sin x+C}}$　　（$C$は積分定数）　･･････(3)

の公式を用いる．

■解説

(1)より

${\displaystyle {\cos }^{2}x=\frac{1}{2}\left(1+\cos 2x\right)}$　･･････(4)

式変形でき，（4）を与式に代入する

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int \frac{1}{2}\left(1+\cos 2x\right)dx}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left({\displaystyle \int dx+{\displaystyle \int \cos 2xdx}}\right)}$　･･････(5)

積分の結果(6)，(7)を(5)に代入する．

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left({\displaystyle \int dx+{\displaystyle \int \cos 2xdx}}\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{2}\sin 2x\right)+C}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin 2x+C}$　　（$C$は積分定数）

　

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最終更新日： 2024年7月18日

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