問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int {\cos }^{3}x\sin xdx}}$

■解説動画

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■答

${\displaystyle -\frac{1}{4}{\cos }^{4}x+C}$ （ $C$ は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int x^{\alpha }}dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}$ （ $C$ は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int {\cos }^{3}x\sin xdx}}$

${\displaystyle \cos x=t}$ とおき，置換積分法で計算を進める．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=-\sin x}$ →　 ${\displaystyle \sin xdx=-dt}$

よって

与式 ${\displaystyle ={\displaystyle \int t^3\left(-1\right)dt}}$

${\displaystyle =-{\displaystyle \int t^{3}dt}}$

${\displaystyle =-\frac{1}{3+1}{t}^{3+1}+C}$

（(1)を参照）

${\displaystyle =-\frac{1}{4}{t}^4+C}$

${\displaystyle =-\frac{1}{4}{\cos }^{4}x+C}$ （ $C$ は積分定数）

（ ${\displaystyle t=\cos x}$ より変数を $t$ から $x$ に戻した）

　

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最終更新日： 2025年2月21日

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