問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{x+4}{2x^2+11x+12}dx}}$

■答

${\displaystyle \frac{1}{2}\log \left|2x+3\right|+C}$　（$C$は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{x}dx=\log \left|x\right|+C}}$　（$C$は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{x+4}{2x^2+11x+12}dx}}$

${\displaystyle 2x^2+11x+12=\left(x+4\right)\left(2x+3\right)}$ より

${\displaystyle ={\displaystyle \int \frac{x+4}{\left(x+4\right)\left(2x+3\right)}}dx}$

${\displaystyle ={\displaystyle \int \frac{1}{2x+3}}dx}$

${\displaystyle 2x+3=t}$とおく置換積分法を用いて計算する．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=2}$ 　→　${\displaystyle dx=\frac{1}{2}dt}$

よって

${\displaystyle ={\displaystyle \int \frac{1}{t}\cdot \frac{1}{2}dt}}$

(元の式に${\displaystyle 2x+3=t}$ を代入する)

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\displaystyle \int \frac{1}{t}dt}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\log \left|t\right|+C}$　（$C$は積分定数）

(ヒントの式(1)を参照)

${\displaystyle =\frac{1}{2}\log \left|2x+3\right|+C}$　（$C$は積分定数）

(${\displaystyle t=2x+3}$ より変数を$t$から$x$に戻した )

●備考

この公式

${\displaystyle \int f\left(ax+b\right)dx=\frac{1}{a}F\left(ax+b\right)+C}$

を使ってもよい．

　

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle \frac{1}{2}\log \left|2x+3\right|+C}$ を微分し，積分前の式 　${\displaystyle \frac{x+4}{2x^2+11x+12}}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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最終更新日： 2023年11月24日

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