不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$\int {csc}^{2} (5 x + \frac{π}{3}) d x$ 　

$- \frac{1}{5} cot (5 x + \frac{π}{3}) + C$ 　（ $C$ は積分定数）

$\int {csc}^{2} x d x = - cot x + C$ 　･･････(1)

の公式を用いる．

$\int {csc}^{2} (5 x + \frac{π}{3}) d x$ 　

$5 x + \frac{π}{3} = t$ と置いて，置換積分する．（置換積分の詳細は置換積分法を参照）

$\frac{d t}{d x} = 5$ 　→　 $d x = \frac{1}{5} d t$ 　

よって

与式 $= \int {csc}^{2} t \cdot \frac{1}{5} d t$ 　

$= \frac{1}{5} \int {csc}^{2} t d t$ 　

（不定積分の基本式の1つ目の式を参照）

$= \frac{1}{5} \cdot (- cot t) + C$ 　

（ヒントの公式(1)を適用した）

$= - \frac{1}{5} cot t + C$ 　

$= - \frac{1}{5} cot (5 x + \frac{π}{3}) + C$ 　

（最初に， $5 x + \frac{π}{3} = t$ と置換したので，元に戻した）

$\int f (a x + b) d x = \frac{1}{a} F (a x + b) + C$

を使ってもよい．

求まった答え $- \frac{1}{5} cot (5 x + \frac{π}{3}) + C$ を微分し，積分前の式 ${csc}^{2} (5 x + \frac{π}{3})$ に戻ることを確認しなさい．

最終更新日： 2024年7月5日