不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$\int x \sqrt{3 x^{2} - 1} d x$

$\frac{1}{9} (3 x^{2} - 1) \sqrt{3 x^{2} - 1} + C$ 　（ $C$ は積分定数）

$\int x^{α} d x = \frac{1}{α + 1} x^{α + 1} + C$ 　（ $C$ は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

$\int x \sqrt{3 x^{2} - 1} d x$

$3 x^{2} - 1 = t$ と置き，置換積分をする．

$\frac{d t}{d x} = 6 x$ 　→　 $x d x = \frac{1}{6} d t$

よって

与式 $= \int \sqrt{t} \cdot \frac{1}{6} d t$

( $3 x^{2} - 1 = t$ , $x d x = \frac{1}{6} d t$ を代入した)

$= \frac{1}{6} \int t^{\frac{1}{2}} d t$

（ $\sqrt{t}$ を累乗の形に変形した）

$= \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} + 1} t^{\frac{1}{2} + 1} + C$ 　（ $C$ は積分定数）

(ヒントの式(1) を参照 )

$= \frac{1}{9} t^{\frac{3}{2}} + C$

$= \frac{1}{9} {(3 x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} + C$

( $t = 3 x^{2} - 1$ より変数を $t$ から $x$ に戻した)

$= \frac{1}{9} (3 x^{2} - 1) \sqrt{3 x^{2} - 1} + C$ 　（ $C$ は積分定数）

求まった答え $\frac{1}{9} (3 x^{2} - 1) \sqrt{3 x^{2} - 1} + C$ を微分し，積分前の式 $\sqrt{3 x^{2} - 1}$ に戻ることを確認しなさい．

最終更新日： 2023年11月24日