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曲線 y=12x2 (0≦x≦1) の長さを求めよ.
√22+12log(1+√2)
曲線の長さを参考にする
図の赤の実線部分の長さを求める.
y=12x2 , y′=x
よって,曲線の長さ L は公式より
L=∫10√1+x2dx
となる. x=tant とおく置換積分にによって値を求める.
dxdt=1cos2t → dx=1cos2tdt
x | 0→1 |
t | 0→π4 |
よって
=∫π40√1+tan2t⋅1cos2tdt
=∫π40√1cos2t⋅1cos2tdt
0<t<π4 では, cost>0 .よって
=∫π401cost⋅1cos2tdt
=∫π401cos3tdt
=∫π40costcos4tdt
=∫π40cost(1−sin2t)2dt
u=sint とおく.
dudt=cost → costdt=du
t | 0→π4 |
u | 0→1√2 |
よって
=∫1√201(1−u2)2du
=∫1√201(1−u)2(1+u)2du
ここで,被積分関数を部分分数に分解する.
・分子の計算
a+b+2(a+b)u+(a+b)u2 −bu−2bu2−bu3 c+d−2(c+d)u+(c+d)u2 du−2du2+du3
=a+b+c+d +(2a+b−2c−d)t +(a−b+c−d)t2 +(−b+d)t3
ここで
a+b+c+d=1 ・・・・・・(1)
2a+b−2c−d=0 ・・・・・・(2)
a−b+c−d=0 ・・・・・・(3)
−b+d=0 ・・・・・・(4)
である.(4)より
d=b ・・・・・・(5)
(5)を(2)に代入
2a+b−2c−b=0
a−c=0
a=c ・・・・・・(6)
(5)を(3)に代入
a−b+c−b=0
a+c−2b=0
これに(6)を代入
a+a−2b=0
2a−2b=0
a=b ・・・・・・(7)
(7)と(5)より
d=a ・・・・・・(8)
(6),(7),(8)を(1)に代入
a+a+a+a=1
4a=1
a=14
よって
a=b=c=d=14
となる.したがって
=∫1√201(1−u)2(1+u)2
=14{2√2+log(3+2√2)}
=√22+14log(3+2√2)
=√22+14log(√2+1)2
=√22+12log(√2+1)
L=∫10√1+x2dx
部分積分法を用いて計算をする.
=∫10(x)'√1+x2dx
=[x√1+x2]10−∫10x122x√1+x2dx
=√2−∫10x2√1+x2dx
=√2−∫101+x2−1√1+x2dx
=√2−L+[log|x+√1+x2|]10
=√2−L+log(1+√2)
よって
2L=√2+log(1+√2)
L=√22+12log(1+√2)
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最終更新日:2025年2月21日