問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\int }_1^2\left(x^3-3x^2+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx}$

■解説動画

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■答

${\displaystyle -\frac{21}{4}+2\sqrt{2}}$

■ヒント

定積分の基本式より

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\left[F\left(x\right)\right]}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)}$ ･･････(1) 　

基本となる関数の積分より

${\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}$ （ $C$ は積分定数）　･･････(2)

を用いる．

■解説

${\displaystyle {\int }_1^2\left(x^3-3x^2+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx}$

（計算しやすいよう， ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac{1}{2}}}$ （累乗）に変換）

${\displaystyle ={\int }_1^2{x}^{3}dx-3{\int }_1^2{x}^{2}dx+{\int }_1^2{x}^{-\frac{1}{2}}dx}$

(定積分の基本式より，式を変形)

（ヒントの式(1)，(2)を適用する）

${\displaystyle ={\left[\frac{1}{4}{x}^4\right]}_1^2-3{\left[\frac{1}{3}{x}^3\right]}_1^2+{\left[2x^{\frac{1}{2}}\right]}_1^2}$

${\displaystyle =\frac{1}{4}\left(2^4-1^4\right)-\left(2^3-1^3\right)+2\left(2^{\frac{1}{2}}-1^{\frac{1}{2}}\right)}$

${\displaystyle =\frac{16-1}{4}-\left(8-1\right)+2\left(\sqrt{2}-1\right)}$

${\displaystyle =-\frac{21}{4}+2\sqrt{2}}$

　

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最終更新日： 2025年2月21日

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