問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\int }_2^{4}xlogxdx}$ 　

■答

${\displaystyle 14log2-3}$ 　

■ヒント

定積分の基本式より

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\left[F\left(x\right)\right]}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)}$　･･････(1) 　

部分積分法より

${\displaystyle \int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}$${\displaystyle =f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}$　･･････(2) 　　

を用いる．

■解説

あらかじめ， ${\displaystyle \int xlogxdx}$ を求めておく．

${\displaystyle \int xlogxdx=\int logx{\left(\frac{1}{2}{x}^2\right)}^{\prime }dx}$ 　

と見て部分積分法を用いる．

与式${\displaystyle =\int logx{\left(\frac{1}{2}{x}^2\right)}^{\prime }dx}$ 　

${\displaystyle =\left(logx\right)\cdot \left(\frac{1}{2}{x}^2\right)}$${\displaystyle -\int {\left(logx\right)}^{\prime }\cdot \left(\frac{1}{2}{x}^2\right)dx}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{2}{x}^{2}logx-\int \left(\frac{1}{x}\right)\cdot \left(\frac{1}{2}{x}^2\right)dx}$ 　

（${\displaystyle {\left(logx\right)}^{\prime }}$ が ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ になるのは， 微分　 ${\displaystyle logx}$ を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{2}{x}^{2}logx-\frac{1}{2}\int xdx}$ 　

（${\displaystyle \frac{1}{2}}$を積分記号${\displaystyle \int }$の前に移せるのは， 不定積分の基本式を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{2}{x}^{2}logx-\frac{1}{4}{x}^2+C}$ 　

（${\displaystyle C}$ は積分定数）
（これが ${\displaystyle xlogx}$　の原始関数である）

よって，定積分の計算式（ヒントの式(1))より

${\displaystyle {\int }_2^{4}xlogxdx={\left[\frac{1}{2}{x}^{2}logx-\frac{1}{4}{x}^2\right]}_2^4}$ 　

となる．

${\displaystyle =\left(8log4-4\right)-\left(2log2-1\right)}$ 　

${\displaystyle =8log{2}^2-4-2log2+1}$ 　

${\displaystyle =16log2-2log2-3}$ 　

（ ${\displaystyle {log}_a{R}^t=t{log}_{a}R}$ の証明を参照）

${\displaystyle =14log2-3}$ 　

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月23日

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