定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

$\int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} sin (x + \frac{π}{2}) d x$ $\int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} sin (x + \frac{π}{2}) d x$

■解説動画

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■答

$1 + \frac{1}{\sqrt{2}}$ $1 + \frac{1}{\sqrt{2}}$

■ヒント

(1)　定積分の基本式

$\int_{a}^{b} f (x) d x = {[F (x)]}_{a}^{b} = F (b) - F (a)$ $\int_{a}^{b} f (x) d x = {[F (x)]}_{a}^{b} = F (b) - F (a)$

(2) 基本となる関数の積分

$\int sin x d x = - cos x + C$ $\int sin x d x = - cos x + C$ （ $C$ $C$ は積分定数）

(3)　以下の関係式

を用いる．

$\int f (a x + b) d x = \frac{1}{a} F (a x + b)$ $\int f (a x + b) d x = \frac{1}{a} F (a x + b)$

■解説

ヒントの(1)，(2)，(3)より

$\int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} sin (x + \frac{π}{2}) d x$ $\int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} sin (x + \frac{π}{2}) d x$ $= - {[cos (x + \frac{π}{2})]}_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}$ $= - {[cos (x + \frac{π}{2})]}_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}$

$= - {[cos (x + \frac{π}{2})]}_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}$ $= - {[cos (x + \frac{π}{2})]}_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}$

$= - {\cos (\frac{π}{2} + \frac{π}{2})$ $= - {\cos (\frac{π}{2} + \frac{π}{2})$ $- \cos (- \frac{π}{4} + \frac{π}{2})}$ $- \cos (- \frac{π}{4} + \frac{π}{2})}$

$= - {cos (π) - cos (\frac{π}{4})}$ $= - {cos (π) - cos (\frac{π}{4})}$

$= - (- 1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$ $= - (- 1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$

$= 1 + \frac{1}{\sqrt{2}}$ $= 1 + \frac{1}{\sqrt{2}}$

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最終更新日： 2025年2月21日

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