部分積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分)．

$\int x^{3} e^{x} d x$

$x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x} + C$ 　　（ $C$ は積分定数）

$\int f (x) g^{'} (x) d x$ $= f (x) g (x) - \int f^{'} (x) g (x) d x$

を用いる．

${(e^{x})}^{'} = e^{x}$ 　より

$f (x) = x^{3}$ ， $g (x) = e^{x}$ 　として部分積分を行う．

$\int x^{3} {(e^{x})}^{'} d x$ 　（これは公式の左辺 $\int f (x) g^{'} (x) d x$ に対応している）

$= x^{3} e^{x} - \int {(x^{3})}^{'} e^{x} d x$ 　（これは公式の右辺 $f (x) g (x) - \int f^{'} (x) g (x) d x$ に対応している）

$= x^{3} e^{x} - \int 3 x^{2} e^{x} d x$

$= x^{3} e^{x} - 3 \int x^{2} {(e^{x})}^{'} d x$

（次は $\int x^{2} {(e^{x})}^{'} d x$ の部分積分を同様にして行う）

$= x^{3} e^{x} - 3 {x^{2} e^{x} - \int {(x^{2})}^{'} e^{x} d x}$

$= x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 3 \int 2 x e^{x} d x$

$= x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 \int x {(e^{x})}^{'} d x$

（次は $\int x {(e^{x})}^{'} d x$ の部分積分を同様にして行う）

$= x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 {x e^{x} - \int {(x)}^{'} e^{x} d x}$

$= x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 \int e^{x} d x$

$= x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x} + C$

求まった答え $x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x} + C$ を微分し，積分前の式 $x^{3} e^{x}$ に戻ることを確認しなさい．

最終更新日： 2023年11月23日