問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

部分積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分)．

${\displaystyle \int e^{x}sinxdx}$

■解説動画

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■答

${\displaystyle \frac{1}{2}{e}^x\left(sinx-cosx\right)+C}$ （ $C$ は積分定数）

■ヒント

部分積分法

${\displaystyle \int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}$ ${\displaystyle =f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}$

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)={\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x}$ より

${\displaystyle f\left(x\right)=e^x}$ ， ${\displaystyle g\left(x\right)=sinx}$  　

として部分積分を行う． 

${\displaystyle \int e^{x}sinxdx}$

${\displaystyle =\int {\left(e^x\right)}^{\prime }sinxdx}$ (この式は公式の左辺の ${\displaystyle \int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}$ に対応している）

${\displaystyle =e^{x}sinx-\int e^x{\left(sinx\right)}^{\prime }dx}$

（この式は公式の右辺の ${\displaystyle f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}$ に対応している）

${\displaystyle =e^{x}sinx-\int {\left(e^x\right)}^{\prime }cosxdx}$

（ 次は ${\displaystyle \int {\left(e^x\right)}^{\prime }cosxdx}$ の部分積分を行う ）

${\displaystyle =e^x\sin x}$ ${\displaystyle -\left\{e^x\cos x-\int e^x{\left(\cos x\right)}^{\prime }dx\right\}}$

${\displaystyle =e^{x}sinx-e^{x}cosx}$ ${\displaystyle -\int e^{x}sinxdx}$ ･･････(1) 　

ここで，右辺の式の中に，左辺の積分の式と同じものが現れたため，左辺の積分の式を ${\displaystyle I}$ とおき ${\displaystyle I}$ に関する方程式とし， ${\displaystyle I}$ を求める．

${\displaystyle I=\int e^{x}sinxdx}$ とおくと(1)は

${\displaystyle I=e^{x}sinx-e^{x}cosx-I}$ ･･････(2) 　

となる．(2)を $I$ について解く.

${\displaystyle 2I=e^{x}sinx-e^{x}cosx}$

（右辺の ${\displaystyle I}$ を左辺に移項した）

${\displaystyle I=\frac{1}{2}{e}^{x}sinx-\frac{1}{2}{e}^{x}cosx}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{e}^x\left(sinx-cosx\right)}$

積分定数を加えて

${\displaystyle \int e^{x}sinxdx=\frac{1}{2}{e}^x\left(sinx-cosx\right)}$ ${\displaystyle +C}$ （ $C$ は積分定数）

●別解

${\displaystyle {\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)={\left(-\cos x\right)}^{\prime }=\sin x}}$ より

${\displaystyle f(x)=-\cos x}$ ， ${\displaystyle g(x)=e^x}$

として部分積分を行う．

${\displaystyle \int e^x\sin xdx}$

${\displaystyle =\int e^x{(-\cos x)}^{\prime }dx}$ (この式は公式の左辺の ${\displaystyle \int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}$ に対応している）

${\displaystyle =e^x\left(-\cos x\right)-{\displaystyle \int {\left(e^x\right)}^{\prime }\left(-\cos x\right)dx}}$

（この式は公式の右辺の ${\displaystyle f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}$ に対応している）

${\displaystyle =-e^x\cos x+{\displaystyle \int e^x{\left(\sin x\right)}^{\prime }dx}}$

（ 次は ${\displaystyle {\displaystyle \int e^x{\left(\sin x\right)}^{\prime }dx}}$ の部分積分を行う ）

${\displaystyle =-e^x\cos x}$ ${\displaystyle +\left\{e^x\sin x-{\displaystyle \int {\left(e^x\right)}^{\prime }\sin xdx}\right\}}$

${\displaystyle =-e^x\cos x+e^x\sin x}$ ${\displaystyle -{\displaystyle \int e^x\sin xdx}}$ ･･････(3) 　

ここで，右辺の式の中に，左辺の積分の式と同じものが現れたため，左辺の積分の式を ${\displaystyle I}$ とおき ${\displaystyle I}$ に関する方程式とし， ${\displaystyle I}$ を求める．

${\displaystyle I=\int e^{x}sinxdx}$ とおくと(3)は

${\displaystyle I=-e^x\cos x+e^x\sin x-I}$ ･･････(4) 　

となる．(4)を $I$ について解く.

${\displaystyle 2I=-e^x\cos x+e^x\sin x}$

（右辺の ${\displaystyle I}$ を左辺に移項した）

${\displaystyle 2I=-e^x\cos x+e^x\sin x}$

${\displaystyle I=\frac{1}{2}{e}^x\left(\sin x-\cos x\right)}$

積分定数を加えて

${\displaystyle \int e^{x}sinxdx=\frac{1}{2}{e}^x\left(sinx-cosx\right)}$ ${\displaystyle +C}$ （ $C$ は積分定数）

 　

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle \frac{1}{2}{e}^x\left(sinx-cosx\right)+C}$ を微分し，積分前の式 ${\displaystyle e^{x}sinx}$ に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2025年2月21日

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