問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

部分積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分)．

${\displaystyle \int \sqrt{x^2+5}dx}$ 　

■答

${\displaystyle \frac{1}{2}\left(x\sqrt{x^2+5}+5log\left|x+\sqrt{x^2+5}\right|\right)+C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

部分積分法

${\displaystyle \int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}$${\displaystyle =f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}$ 　

を用いる．

■解説

${\displaystyle x^{\prime }=1}$ より

${\displaystyle f\left(x\right)=x}$，${\displaystyle g\left(x\right)=\sqrt{x^2+5}}$

として部分積分を行う．

${\displaystyle \int \sqrt{x^2+5}dx}$ 　

${\displaystyle =\int {\left(x\right)}^{\prime }\sqrt{x^2+5}dx}$　（この式は公式の右辺の ${\displaystyle \int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}$に対応する）

${\displaystyle =x\sqrt{x^2+5}-\int x{\left\{{\left(x^2+5\right)}^{\frac{1}{2}}\right\}}^{\prime }dx}$ 　

（この式は公式の左辺${\displaystyle =f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}$に対応する）

${\displaystyle =x\sqrt{x^2+5}}$${\displaystyle -\int x\cdot \frac{1}{2}\cdot 2x{\left(x^2+5\right)}^{-\frac{1}{2}}dx}$ 　

${\displaystyle =x\sqrt{x^2+5}-\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+5}}dx}$ 　

${\displaystyle =x\sqrt{x^2+5}-\int \frac{x^2+5-5}{\sqrt{x^2+5}}dx}$ 　

（${\displaystyle 5-5=0}$ なので，式の値は変らない）

${\displaystyle =x\sqrt{x^2+5}}$${\displaystyle -\int \left(\frac{x^2+5}{\sqrt{x^2+5}}-\frac{5}{\sqrt{x^2+5}}\right)dx}$ 　

${\displaystyle =x\sqrt{x^2+5}}$${\displaystyle -\int \left(\sqrt{x^2+5}-\frac{5}{\sqrt{x^2+5}}\right)dx}$ 　

${\displaystyle =x\sqrt{x^2+5}}$${\displaystyle -\int \sqrt{x^2+5}dx+\int \frac{5}{\sqrt{x^2+5}}dx}$ 　

${\displaystyle =x\sqrt{x^2+5}}$${\displaystyle -\int \sqrt{x^2+5}dx+5\int \frac{1}{\sqrt{x^2+5}}dx}$ 　

${\displaystyle =x\sqrt{x^2+5}}$${\displaystyle -\int \sqrt{x^2+5}dx+5log\left|x+\sqrt{x^2+5}\right|}$ 　

（ ${\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2+5}}dx=log\left|x+\sqrt{x^2+5}\right|}$ の計算過程は， 積分の公式を使った問題${\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2+5}}dx}$ を参照 ）

ここで，右辺の式の中に左辺の式が含まれている．よって，左辺の式を ${\displaystyle I}$ 　として計算を進める．

${\displaystyle I=\int \sqrt{x^2+5}dx}$ とおく

よって，積分定数$C$を加えて

　

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle \frac{1}{2}\left(x\sqrt{x^2+5}+5log\left|x+\sqrt{x^2+5}\right|\right)+C}$を微分し，積分前の式　 ${\displaystyle \sqrt{x^2+5}}$ 　に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2025年3月7日

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