不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分)．

${\displaystyle {\displaystyle \int \left(5x^4-3x^2+\frac{3\sqrt{x}}{2}\right)}dx}$  

■答

${\displaystyle x^5-x^3+x\sqrt{x}+C}$ ( $C$ は積分定数)

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}$ ( $C$ は積分定数)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \left(5x^4-3x^2+\frac{3\sqrt{x}}{2}\right)}dx}$  

計算しやすいよう， ${\displaystyle \sqrt{x}}$ を累乗の形に変換すると，

与式 ${\displaystyle ={\displaystyle \int \left(5x^4-3x^2+\frac{3}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}}\right)}dx}$

（ ${\displaystyle \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}}$ は 指数が有理数の場合を参照） 

${\displaystyle ={\displaystyle \int 5x^{4}dx}-{\displaystyle \int 3x^{2}dx+\frac{3}{2}{\displaystyle \int x^{\frac{1}{2}}dx}}}$  

（不定積分の基本式の2つ目の式を参照）

${\displaystyle =5{\displaystyle \int x^{4}dx}-3{\displaystyle \int x^{2}dx+\frac{3}{2}{\displaystyle \int x^{\frac{1}{2}}dx}}}$  

（公式にあてはめる） 

${\displaystyle =5\cdot \frac{1}{5}{x}^5-3\cdot \frac{1}{3}{x}^3+\frac{3}{2}\cdot \frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+C}$  

${\displaystyle =x^5-x^3+x^{\frac{3}{2}}+C}$  

${\displaystyle x^{\frac{3}{2}}}$ を ${\displaystyle x\sqrt{x}}$ の形に戻して，(指数が有理数の場合を参照） 

${\displaystyle =x^5-x^3+x\sqrt{x}+C}$ ( $C$ は積分定数)

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最終更新日：2025年3月6日