問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \sqrt{\frac{1}{3}x}dx}}$  

■答

${\displaystyle =\frac{2\sqrt{3}}{9}x\sqrt{x}+C}$ （ $C$ は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}$ （ $C$ は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \sqrt{\frac{1}{3}x}dx}}$  

(1)の公式を適用するために， ${\displaystyle \sqrt{\frac{1}{3}x}}$ を累乗の形に変換する．

${\displaystyle \sqrt{\frac{1}{3}x}=\sqrt{\frac{1}{3}}\cdot \sqrt{x}=\sqrt{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{1}{2}}}$

（ ${\displaystyle \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}}$ は 指数が有理数の場合を参照） 

与式 ${\displaystyle ={\displaystyle \int \left(\sqrt{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{1}{2}}\right)dx}}$

${\displaystyle =\sqrt{\frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \int x^{\frac{1}{2}}dx}}$

（ ${\displaystyle \sqrt{\frac{1}{3}}}$ を積分記号 ${\displaystyle \int }$ の前に移せるのは，不定積分の基本式の1つ目の式を参照） 

${\displaystyle =\sqrt{\frac{1}{3}}\cdot \frac{1}{1+\frac{1}{2}}{x}^{\frac{3}{2}}+C}$ （ $C$ は積分定数）

（ ${\displaystyle \frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}}$ を ${\displaystyle \frac{2}{3}x\sqrt{x}}$ の形に戻す．指数が有理数の場合を参照） 

${\displaystyle =\sqrt{\frac{1}{3}}\cdot \frac{2}{3}x\sqrt{x}+C}$  

${\displaystyle =\frac{2\sqrt{3}}{9}x\sqrt{x}+C}$ （ $C$ は積分定数）

　

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{9}x\sqrt{x}+C}$ を微分し，積分前の式 ${\displaystyle \sqrt{\frac{1}{3}x}}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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最終更新日： 2025年3月6日

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