定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

$\int_{0}^{1} \frac{x^{5}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$ 　　

$\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{α}^{β} f (g (t)) g^{'} (t) d t$ 　･･････(1)

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{n} x d x

= \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{n} x d x

= \frac{n - 1}{n} \cdot \frac{n - 3}{n - 2} \cdot \dots \cdot \times \{\begin{matrix} \frac{π}{2} \\ 1 \end{matrix}

$n$ ：偶数	$n ≧ 1$ 　･･････(2)
$n$ ：奇数

を用いる．

あらかじめ， $\int \frac{x^{5}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$ を求めておく．

$x = sin θ$ 　 $(- \frac{π}{2} < θ < \frac{π}{2})$ 　･･････(3)

とおいて置換積分をする．

$\frac{d x}{d θ} = cos θ$ 　　∴ $d x = cos θ d θ$ 　･･････(4)

（ $sin θ$ を微分すると $cos θ$ になるのは，微分 $sin x$ を参照）

よって

$\int \frac{x^{5}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$ $= \int \frac{{sin}^{5} θ}{\sqrt{1 - {sin}^{2} θ}} cos θ d θ$ 　

ここで， $1 - {sin}^{2} θ = {cos}^{2} θ$ （三角関数の相互関係の $1$ 番目の式を参照）より　

$\sqrt{1 - {sin}^{2} θ} = \sqrt{{cos}^{2} θ}$ 　　

$- \frac{π}{2} < θ < \frac{π}{2}$ なので， $cos θ ≧ 0$ となり， $\sqrt{{cos}^{2} θ} = cos θ$ である．　

したがって

$= \int \frac{{sin}^{5} θ}{cos θ} cos θ d θ$ 　　

$= \int {sin}^{5} θ d θ$ 　　

次に， $\int_{0}^{1} \frac{x^{5}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$ を求める．

はじめに　 $x = sin θ$ 　と置換していることいり

$x = 0$ のとき $θ = 0$ ,　 $x = 1$ のとき $θ = \frac{π}{2}$

よって，ヒントの式(1)より

$\int_{0}^{1} \frac{x^{5}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} {sin}^{5} θ d θ$ 　　

となる．

ヒントの式(2)のを適用する． $n$ に代入する値が $5$ （奇数）なる

$= (\frac{5 - 1}{5}) \cdot (\frac{5 - 3}{5 - 2}) \cdot (5 - 4)$ 　

$= \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} \cdot 1$ 　　

$= \frac{8}{15}$ 　　

学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月23日