ベクトルのなす角の計算

■問題

平面ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(5,0\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(-1,\sqrt{3}\right)}$ のなす角を求めよ．

■答

${\displaystyle 120°}$

■ヒント

${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$のなす角を${\displaystyle \theta }$としたとき 

${\displaystyle \overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|cos\theta }$

内積の定義を利用する． 

■解説

${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$のなす角を${\displaystyle \theta }$ とすると  

${\displaystyle \cos \theta =\frac{\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|}}$ ${\displaystyle =\frac{5\times \left(-1\right)+0\times \sqrt{3}}{\sqrt{5^2+0^2}\times \sqrt{{\left(-1\right)}^2+{\sqrt{3}}^2}}}$ ${\displaystyle =\frac{-5}{\sqrt{100}}}$ ${\displaystyle =\frac{-5}{10}}$ ${\displaystyle =-\frac{1}{2}}$

${\displaystyle {\text{0}}^{\circ }\leqq \theta \leqq {180}^{\circ }}$ であるから

${\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle \mathrm{\theta }={120}^{\circ }}}}$  

　

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学生スタッフ
最終更新日： 2023年2月16日