ラプラス変換の線形性

$a$ $a$ , $b$ $b$ を実数の定数とすると

$L {a f (t)} = a L {f (t)}$ $L {a f (t)} = a L {f (t)}$

$L {a f_{1} (t) + b f_{2} (t)}$ $L {a f_{1} (t) + b f_{2} (t)}$ $= a L {f_{1} (t)} + b L {f_{2} (t)}$ $= a L {f_{1} (t)} + b L {f_{2} (t)}$

の2式が成り立ち，ラプラス変換は線形性を持つ．

■証明

$L {a f (t)} = \int_{0}^{\infty} e^{- s t} {a f (t)} d t$ $L {a f (t)} = \int_{0}^{\infty} e^{- s t} {a f (t)} d t$

$= a \int_{0}^{\infty} e^{- s t} f (t) d t$ $= a \int_{0}^{\infty} e^{- s t} f (t) d t$

$= a L {f (t)}$ $= a L {f (t)}$

$L {a f_{1} (t) + b f_{2} (t)}$ $L {a f_{1} (t) + b f_{2} (t)}$ $= \int_{0}^{\infty} e^{- s t} {a f_{1} (t) + b f_{2} (t)} d t$ $= \int_{0}^{\infty} e^{- s t} {a f_{1} (t) + b f_{2} (t)} d t$

$= a \int_{0}^{\infty} e^{- s t} f_{1} (t) d t + b \int_{0}^{\infty} e^{- s t} f_{2} (t) d t$ $= a \int_{0}^{\infty} e^{- s t} f_{1} (t) d t + b \int_{0}^{\infty} e^{- s t} f_{2} (t) d t$

$= a L {f_{1} (t)} + b L {f_{2} (t)}$ $= a L {f_{1} (t)} + b L {f_{2} (t)}$

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最終更新日： 2023年6月6日