逆演算子の公式

■逆演算子の公式

1. ${\displaystyle \frac{1}{D}F\left(x\right)=\int F\left(x\right)dx}$ ⇒導出
2. ${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)}\left\{cF\left(x\right)\right\}=c\frac{1}{f\left(D\right)}F\left(x\right)}$ ⇒導出
3. ${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)}\left\{F\left(x\right)+G\left(x\right)\right\}}$${\displaystyle =\frac{1}{f\left(D\right)}F\left(x\right)+\frac{1}{f\left(D\right)}G\left(x\right)}$ ⇒導出
4. ${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)}{e}^{\alpha x}=\frac{1}{f\left(\alpha \right)}{e}^{\alpha x }}$ 　　 ${\displaystyle \left(f\left(\alpha \right)\ne 0\right)}$    ⇒導出
5. ${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)}F\left(x\right)}$${\displaystyle =e^{\alpha x}\frac{1}{f\left(D+\alpha \right)}\left[e^{-\alpha x}F\left(x\right)\right]}$    ⇒導出
6. ${\displaystyle \frac{1}{D-\alpha }F\left(x\right)=e^{\alpha x}\int e^{-\alpha x}F\left(x\right)dx}$    ⇒導出
7. ${\displaystyle \frac{1}{{\left(D-\alpha \right)}^n}F\left(x\right)}$${\displaystyle =e^{\alpha x}\int \cdot \cdot \cdot \int e^{-\alpha x}F\left(x\right)dx\cdot \cdot \cdot dx}$     ⇒導出
8. ${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)}\left[k{e}^{i\alpha x}\right]=\xi \left(x\right)+\eta \left(x\right)i}$  ならば

   ${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)}\left[kcos\alpha x\right]=\xi \left(x\right),}$${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)}\left[ksin\alpha x\right]=\eta \left(x\right)}$    ⇒導出

9. ${\displaystyle \frac{1}{D^2+a^2}cosax=\frac{1}{2a}xsinax}$    ⇒導出
10. ${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)}\left[e^{\alpha x}F\left(x\right)\right]=e^{\alpha x}\frac{1}{\left(D-\alpha \right)}F\left(x\right)}$    ⇒導出
11. ${\displaystyle \frac{1}{D^2+a^2}sinax=-\frac{1}{2a}xcosax}$    ⇒導出
12. ${\displaystyle F\left(x\right)}$ が多項式である定数係数線形微分方程式${\displaystyle f\left(D\right)y=F\left(x\right)}$ において

    ${\displaystyle \frac{1}{f\left(t\right)}=a_0+a_{1}t+a_2{t}^2+\cdots }$${\displaystyle +a_r{t}^r+g\left(t\right)t^{r+1}}$　(ただし， ${\displaystyle g\left(t\right)}$ は多項式)

    と表されるとき，逆演算子${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)}}$ は

    ${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)}=a_0+a_{1}D+a_2{D}^2+\cdots }$${\displaystyle +a_r{D}^r}$

    となる．　⇒導出

13. ${\displaystyle F\left(x\right)}$が多項式の場合，${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)}F\left(x\right)}$を計算するのに次の展開を利用することがある．

    ${\displaystyle \frac{1}{1-aD}}$${\displaystyle =1+aD+a^2{D}^2+a^3{D}^3+\cdot \cdot \cdot }$   ⇒導出

14. ${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)g\left(D\right)}F\left(x\right)}$${\displaystyle =\frac{1}{f\left(D\right)}\left\{\frac{1}{g\left(D\right)}F\left(x\right)\right\}}$${\displaystyle =\frac{1}{g\left(D\right)}\left\{\frac{1}{f\left(D\right)}F\left(x\right)\right\}}$   ⇒導出
15. 以下のような逆演算子は，部分分数に分解することが出来る．

    ${\displaystyle \frac{1}{\left(1-aD\right)\left(1-bD\right)}}$${\displaystyle =\frac{1}{a-b}\left\{\frac{a}{\left(1-aD\right)}-\frac{b}{\left(1-bD\right)}\right\}}$   ⇒導出

 

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学生スタッフ作成
最終更新日2024年10月7日

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