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変数分離形微分方程式

微分方程式

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{f\left(x\right)}{g\left(y\right)}}$

を変数分離形という（ただし ${\displaystyle g\left(y\right)\ne 0}$ ）．

また

${\displaystyle \frac{f\left(x\right)}{g\left(y\right)}=f\left(x\right)\frac{1}{g\left(y\right)}}$  

${\displaystyle \frac{1}{g\left(y\right)}=h\left(y\right)}$  とおくと

${\displaystyle \frac{f\left(x\right)}{g\left(y\right)}=f\left(x\right)h\left(y\right)}$  

というように右辺を変形して

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=f\left(x\right)h\left(y\right)}$  

を変数分離形としている場合もある．

■変数分離形微分方程式の解法

その1

${\displaystyle f\left(x\right)}$${\displaystyle =g\left(y\right)\frac{dy}{dx}}$

${\displaystyle =\frac{d}{dy}\left\{{\displaystyle \int g\left(y\right)dy}\right\}\frac{dy}{dx}}$

${\displaystyle \because g\left(y\right)=\frac{d}{dy}\left\{{\displaystyle \int g\left(y\right)dy}\right\}}$　(不定積分の定義)

${\displaystyle =\frac{d}{dx}\left\{{\displaystyle \int g\left(y\right)dy}\right\}}$

${\displaystyle \because }$${\displaystyle z={\displaystyle \int g\left(y\right)dy}}$ とおくと，${\displaystyle \frac{dz}{dy}\frac{dy}{dx}=\frac{dz}{dx}}$　(合成関数の導関数)

よって，${\displaystyle {\displaystyle \int g\left(y\right)dy}}$ が${\displaystyle f\left(x\right)}$ の原始関数（不定積分）になるので

${\displaystyle {\displaystyle \int f\left(x\right)dx}={\displaystyle \int g\left(y\right)dy}+C}$

その2

${\displaystyle g\left(y\right)\frac{dy}{dx}=f\left(x\right)}$  

両辺を${\displaystyle x}$  で積分する

${\displaystyle {\displaystyle \int g\left(y\right)\frac{dy}{dx}dx}={\displaystyle \int f\left(x\right)dx}+C}$  

左辺は置換積分により${\displaystyle {\displaystyle \int g\left(y\right)\frac{dy}{dx}dx}={\displaystyle \int g\left(y\right)dy}}$  となる．

よって

${\displaystyle {\displaystyle \int g\left(y\right)dy}={\displaystyle \int f\left(x\right)dx}+C}$  

その3

形式的に以下のように記述してもよい．

${\displaystyle g\left(y\right)dy=f\left(x\right)dx}$

両辺を積分して

${\displaystyle \int g\left(y\right)dy=\int f\left(x\right)dx+C}$

 

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　最終更新日： 2023年6月9日

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