2変数関数のテイラー（Taylor）の定理の証明

$f (a + h, b + k) = f (a, b)$ $+ \frac{1}{1!} (h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y}) f (a, b)$ $+ \frac{1}{2!} (h \frac{\partial}{\partial x} + {k \frac{\partial}{\partial y})}^{2} f (a, b)$ $+ \dots$ $+ \frac{1}{n!} (h \frac{\partial}{\partial x} {+ k \frac{\partial}{\partial y})}^{n} f (a, b)$ $+ R_{n + 1}$

$R_{n + 1}$ $= \frac{1}{(n + 1)!} (h \frac{\partial}{\partial x} {+ k \frac{\partial}{\partial y})}^{n + 1} f (a + θ h, b + θ k)$ 　　（ただし, $0 < θ < 1$ ）

■導出

$z = f (x, y)$ ， $x = a + h t$ ， $y = b + k t$ 　　( $a, b, h, k$ は定数)

のとき， $z (t) = f (a + h t, b + k t)$ とおく．

$z (t)$ を合成関数の微分法を用いて微分する．

$\frac{d z}{d t} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{d x}{d t} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{d y}{d t}$ ･･････(1)

$\frac{d x}{d t} = \frac{d}{d t} (a + h t) = h$ ， $\frac{d y}{d t} = \frac{d}{d t} (b + k t) = k$ ･･････(2)

(2)を(1)に代入すると，

$\frac{d z}{d t} = \frac{\partial z}{\partial x} h + \frac{\partial z}{\partial y} k = (h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y}) z$

$\frac{d^{2} z}{d t^{2}}$ $= \frac{d}{d t} (\frac{d z}{d t})$

$= \frac{d}{d t} {(h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y}) z}$

$= \frac{d}{d t} (h \frac{\partial z}{\partial x} + k \frac{\partial z}{\partial y})$

$= \frac{d}{d t} (h \frac{\partial z}{\partial x}) + \frac{d}{d t} (k \frac{\partial z}{\partial y})$

$= h \frac{d}{d t} (\frac{\partial z}{\partial x}) + k \frac{d}{d t} (\frac{\partial z}{\partial y})$

合成関数の微分法より

$\frac{d^{2} z}{d t^{2}} = h {\frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial z}{\partial x}) \frac{d x}{d t}$ $+ \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial z}{\partial x}) \frac{d y}{d t}}$ $+ k {\frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial z}{\partial y}) \frac{d x}{d t}$ $+ \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial z}{\partial y}) \frac{d y}{d t}}$

(2)を代入して整理すると

$\frac{d^{2} z}{d t^{2}} = {h (\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}) h$ $+ (\frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x}) k}$ $+ k {(\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}) h$ $+ (\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}) k}$

偏微分は順序交換が可能であるので

$\frac{d^{2} z}{d t^{2}} = h^{2} (\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}) + 2 h k (\frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x})$ $+ k^{2} (\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}})$

よって

$\frac{d^{2} z}{d t^{2}} = {(h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y})}^{2} z$

以上より $t$ での微分を $n$ 回繰り返すと，

$\frac{d^{n} z}{d t^{n}} = {(h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y})}^{n} z$

と推測できる．

ここで1変数関数 $z (t)$ にマクローリンの定理を適用すると，

$z (t) = z (0) + \frac{1}{1!} z^{'} (0) t + \frac{1}{2!} z^{″} (0) t^{2}$ $+ \dots$ $+ \frac{1}{n!} z^{(n)} (0) t^{n}$ $+ R_{n + 1}$ ･･････(3)

$R_{n + 1} = \frac{1}{(n + 1)!} z^{(n + 1)} (θ) t^{n + 1}$ $(0 < θ < 1)$

$t = 1$ とおくと，

$z (1) = z (0) + \frac{1}{1!} z^{'} (0) + \frac{1}{2!} z^{″} (0) + \dots$ $+ \frac{1}{n!} z^{(n)} (0) + R_{n + 1}$

$R_{n + 1} = \frac{1}{(n + 1)!} z^{(n + 1)} (θ)$ $(0 < θ < 1)$

$z (t) = f (a + h t, b + k t)$ なので

$z (0) = f (a, b)$

$z^{'} (0) = \frac{d z (0)}{d t} = (h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y}) z (0)$ $= (h \frac{\partial}{\partial x}$ $+ k \frac{\partial}{\partial y}) f (a, b)$

$z^{″} (0) = \frac{d^{2} z (0)}{d t^{2}} = (h \frac{\partial}{\partial x} {+ k \frac{\partial}{\partial y})}^{2} z (0)$ $= (h \frac{\partial}{\partial x}$ ${+ k \frac{\partial}{\partial y})}^{2} f (a, b)$

$z^{(n)} (0) = \frac{d^{n} z (0)}{d t^{n}} = {(h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y})}^{n} z (0)$ $= (h \frac{\partial}{\partial x}$ $+ {k \frac{\partial}{\partial y})}^{n} f (a, b)$

また

$z^{(n + 1)} (t) = \frac{d^{n + 1} z (t)}{d t^{n + 1}} = {(h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y})}^{n + 1} z (t)$ $= (h \frac{\partial}{\partial x}$ ${+ k \frac{\partial}{\partial y})}^{n + 1} f (a + h t, b + k t)$

なので

$z^{(n + 1)} (θ) = \frac{d^{n + 1} z (θ)}{d t^{n + 1}} = {(h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y})}^{n + 1} z (θ)$ $= (h \frac{\partial}{\partial x}$ ${+ k \frac{\partial}{\partial y})}^{n + 1} f (a + h θ, b + k θ)$

となる．以上を(3)に代入すると

$R_{n + 1}$ $= \frac{1}{(n + 1)!} (h \frac{\partial}{\partial x} {+ k \frac{\partial}{\partial y})}^{n + 1} f (a + θ h, b + θ k)$ 　　（ただし, $0 < θ < 1$ ）

となる．

ホーム>>カテゴリー別分類>>微分>>偏微分>>2変数のテイラーの定理>>2変数関数のテイラーの定理の証明

学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年10月16日