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関数の積の微分

${\displaystyle {\left\{g\left(x\right)h\left(x\right)\right\}}^{\prime }}$${\displaystyle =g^{\prime }\left(x\right)h\left(x\right)+g\left(x\right)h^{\prime }\left(x\right)}$

すなわち，

${\displaystyle f\left(x\right)=g\left(x\right)h\left(x\right)}$${\displaystyle \to f^{\prime }\left(x\right)=g^{\prime }\left(x\right)h\left(x\right)+g\left(x\right)h{\left(x\right)}^{\prime }}$

■導出

導関数の定義より

${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}}$

${\displaystyle =\left\{\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{g\left(x+\Delta x\right)-g\left(x\right)}{\Delta x}\right\}}$${\displaystyle \left\{\underset{\Delta x\to 0}{lim}h\left(x+\Delta x\right)\right\}}$${\displaystyle +g\left(x\right)\left\{\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{h\left(x+\Delta x\right)-h\left(x\right)}{\Delta x}\right\}}$

${\displaystyle =g^{\prime }\left(x\right)h\left(x\right)+g\left(x\right)h^{\prime }\left(x\right)}$

よって，

${\displaystyle {\left\{g\left(x\right)h\left(x\right)\right\}}^{\prime }}$${\displaystyle =g^{\prime }\left(x\right)h\left(x\right)+g\left(x\right)h^{\prime }\left(x\right)}$

である．

●図形による理解

${\displaystyle =g^{\prime }\left(x\right)h\left(x\right)+g\left(x\right)h^{\prime }\left(x\right)}$

 

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最終更新日： 2024年7月12日

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