置換の性質

ある置換とその逆置換の ${\displaystyle \mathrm{sgn}}$ の値は等しい．すなわち，

${\displaystyle sgn\left(\begin{array}{llll}1\hfill & 2\hfill & \cdots \hfill & n\hfill \\ k_1\hfill & k_2\hfill & \cdots \hfill & k_n\hfill \end{array}\right)=sgn\left(\begin{array}{llll}{k}_1\hfill & k_2\hfill & \cdots \hfill & k_n\hfill \\ 1\hfill & 2\hfill & \cdots \hfill & n\hfill \end{array}\right)}$

■導出

置換 ${\displaystyle \left(\begin{array}{llll}1\hfill & 2\hfill & \cdots \hfill & n\hfill \\ k_1\hfill & k_2\hfill & \cdots \hfill & k_n\hfill \end{array}\right)}$ が${\displaystyle i}$ 個の互換の積で表わせるとする．また，置換${\displaystyle \left(\begin{array}{llll}{k}_1\hfill & k_2\hfill & \cdots \hfill & k_n\hfill \\ 1\hfill & 2\hfill & \cdots \hfill & n\hfill \end{array}\right)}$ が${\displaystyle j}$ 個の互換の積で表わせるとする．上の2つの置換の積は

${\displaystyle \left(\begin{array}{llll}1\hfill & 2\hfill & \cdots \hfill & n\hfill \\ k_1\hfill & k_2\hfill & \cdots \hfill & k_n\hfill \end{array}\right)\left(\begin{array}{llll}{k}_1\hfill & k_2\hfill & \cdots \hfill & k_n\hfill \\ 1\hfill & 2\hfill & \cdots \hfill & n\hfill \end{array}\right)=\left(\begin{array}{llll}1\hfill & 2\hfill & \cdots \hfill & n\hfill \\ 1\hfill & 2\hfill & \cdots \hfill & n\hfill \end{array}\right)}$

となる．左辺の置換の積は${\displaystyle i+j}$ 個の互換の積で表わされ，右辺の置換は恒等置換(単位置換)であるので偶置換である．よって${\displaystyle i+j}$ は偶数である．したがって，${\displaystyle i}$ が奇数の時，${\displaystyle j}$ も奇数となり

${\displaystyle sgn\left(\begin{array}{llll}1\hfill & 2\hfill & \cdots \hfill & n\hfill \\ k_1\hfill & k_2\hfill & \cdots \hfill & k_n\hfill \end{array}\right)=sgn\left(\begin{array}{llll}{k}_1\hfill & k_2\hfill & \cdots \hfill & k_n\hfill \\ 1\hfill & 2\hfill & \cdots \hfill & n\hfill \end{array}\right)=-1}$

となる．${\displaystyle i}$ が偶数の時，${\displaystyle j}$ も偶数となり

${\displaystyle \begin{array}{l}sgn\left(\begin{array}{llll}1\hfill & 2\hfill & \cdots \hfill & n\hfill \\ k_1\hfill & k_2\hfill & \cdots \hfill & k_n\hfill \end{array}\right)=sgn\left(\begin{array}{llll}{k}_1\hfill & k_2\hfill & \cdots \hfill & k_n\hfill \\ 1\hfill & 2\hfill & \cdots \hfill & n\hfill \end{array}\right)=1\end{array}}$

となる．以上より，

${\displaystyle sgn\left(\begin{array}{llll}1\hfill & 2\hfill & \cdots \hfill & n\hfill \\ k_1\hfill & k_2\hfill & \cdots \hfill & k_n\hfill \end{array}\right)=sgn\left(\begin{array}{llll}{k}_1\hfill & k_2\hfill & \cdots \hfill & k_n\hfill \\ 1\hfill & 2\hfill & \cdots \hfill & n\hfill \end{array}\right)}$

が常に成り立つ．

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最終更新日： 2015年9月24日