置換

1からnまでの各自然数を，同じ1からnまでの自然数のいずれかに1対1に対応させることを置換という．

1，2，3の自然数を用いて置換の説明を詳しくする．1に2を，2に3を，3に1を対応させる置換，すなわち

${\displaystyle \begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ \downarrow & \downarrow & \downarrow \\ 2& 3& 1\end{array}}$

のように対応させる置換を

${\displaystyle \left(\begin{array}{lll}1\hfill & 2\hfill & 3\hfill \\ 2\hfill & 3\hfill & 1\hfill \end{array}\right)}$

と表す．上段に対応させる数字を，下段に上段の数字に対応する数字をかく．

以下の置換

${\displaystyle \left(\begin{array}{lll}1\hfill & 2\hfill & 3\hfill \\ 2\hfill & 3\hfill & 1\hfill \end{array}\right)}$ ，${\displaystyle \left(\begin{array}{lll}1\hfill & 3\hfill & 2\hfill \\ 2\hfill & 1\hfill & 3\hfill \end{array}\right)}$

${\displaystyle \left(\begin{array}{lll}2\hfill & 1\hfill & 3\hfill \\ 3\hfill & 2\hfill & 1\hfill \end{array}\right)}$ ，${\displaystyle \left(\begin{array}{lll}2\hfill & 3\hfill & 1\hfill \\ 3\hfill & 1\hfill & 2\hfill \end{array}\right)}$

${\displaystyle \left(\begin{array}{lll}3\hfill & 1\hfill & 2\hfill \\ 1\hfill & 2\hfill & 3\hfill \end{array}\right)}$ ，${\displaystyle \left(\begin{array}{lll}3\hfill & 2\hfill & 1\hfill \\ 1\hfill & 3\hfill & 2\hfill \end{array}\right)}$

はいずれも1に2，2に3，3に1が対応しており同じ置換である．このことを置換の相等という．

式で表すと

${\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right)}$ ${\displaystyle =\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 2& 1& 3\end{array}\right)}$ ${\displaystyle =\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right)}$ ${\displaystyle =\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 3& 1& 2\end{array}\right)}$ ${\displaystyle =\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 2\\ 1& 2& 3\end{array}\right)}$ ${\displaystyle =\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 1& 3& 2\end{array}\right)}$

となる．

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最終更新日： 2022年6月23日