確率の積の法則（乗法定理）

試行 ${\displaystyle {\text{T}}_1}$ では事象 ${\displaystyle {\text{A}}_1}$ 起こり続いて行う試行 ${\displaystyle {\text{T}}_2}$ では事象 ${\displaystyle {\text{A}}_2}$ が起こる確率 ${\displaystyle P\left({\text{A}}_1\cap {\text{A}}_2\right)}$ は， 試行 ${\displaystyle {\text{T}}_1}$ では事象 ${\displaystyle {\text{A}}_1}$ 起こる確率を ${\displaystyle P\left({\text{A}}_1\right)}$ ， 試行 ${\displaystyle {\text{T}}_1}$ で事象 ${\displaystyle {\text{A}}_1}$ 起こったという条件つきで，続いて行う試行 ${\displaystyle {\text{T}}_2}$ で事象 ${\displaystyle {\text{A}}_2}$ が起こる条件付確率を ${\displaystyle P_{{\text{A}}_{\text{1}}}\left({\text{A}}_2\right)}$ とすると

${\displaystyle P\left(A_1\cap A_2\right)=P\left(A_1\right)·P_{A_1}\left(A_2\right)}$

となる．これを確率の積の法則または乗法定理という．

■確率の積の法則の導出

試行 ${\displaystyle {\text{T}}_1}$ で起こるすべての場合の数を ${\displaystyle n\left({\text{U}}_1\right)}$ ，試行Tで事象 ${\displaystyle {\text{A}}_1}$ が起こる場合の数を ${\displaystyle n\left({\text{A}}_1\right)}$ ， 試行 ${\displaystyle {\text{T}}_2}$ で起こるすべての場合の数を ${\displaystyle n\left({\text{U}}_2\right)}$ ，試行Tで事象 ${\displaystyle {\text{A}}_2}$ が起こる場合の数を ${\displaystyle n\left({\text{A}}_2\right)}$ ， とすると， 試行1，試行2を連続して行った場合のすべての場合の数は積の法則より ${\displaystyle n\left({\text{U}}_1\right)\times n\left({\text{U}}_2\right)}$ ， 事象 ${\displaystyle {\text{A}}_1}$ に続いて事象 ${\displaystyle {\text{A}}_2}$ が起こる場合の数は積の法則より ${\displaystyle n\left({\text{A}}_1\right)\times n\left({\text{A}}_2\right)}$ ， となる．確率の定義より

${\displaystyle P\left({\text{A}}_1\cap {\text{A}}_2\right)}$	${\displaystyle =\frac{n\left({\text{A}}_1\right)\times n\left({\text{A}}_2\right)}{n\left({\text{U}}_1\right)\times n\left({\text{U}}_2\right)}}$
	${\displaystyle =\frac{n\left({\text{A}}_1\right)}{n\left({\text{U}}_1\right)}\times \frac{n\left({\text{A}}_2\right)}{n\left({\text{U}}_2\right)}}$
	${\displaystyle =P\left({\text{A}}_1\right)\times P_{{\text{A}}_{\text{1}}}\left({\text{A}}_2\right)}$

となり確率の積の法則が導かれる．

■事例による説明

数字1のカードが2枚，数字2のカードが3枚の計5枚のカードがある．5枚のカードから1枚のカードを取り，カードを戻さず2枚目のカードを引きます．1枚目に数字1のカードを取り，2枚目に数字2のカードを取る確率を求めよ．

1枚目に数字1のカードを取る確率は ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ となる．
2枚目に数字2のカードを取る確率は，残りのカードが4枚で数字2のカードは3枚のままであるので ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ となる．
よって，求める確率は

${\displaystyle \frac{2}{5}·\frac{3}{4}=\frac{3}{10}}$

となる．

 

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最終更新日： 2025年4月22日