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三角関数の定義

原点を中心として半径 r  の円周上に点$\text{P}$${\displaystyle \left(x,y\right)}$  があり，${\displaystyle \text{OP}}$ と$x$ 軸のなす角を$\theta$ （角度の定義参照）とする． 三角関数（正弦，余弦，正接，正割，余割，余接）は

正弦せいげん（サイン）：  ${\displaystyle sin\theta =\frac{y}{r}}$　　

余弦よげん（コサイン）：  ${\displaystyle cos\theta =\frac{x}{r}}$　

正接せいげん（タンジェント）：  ${\displaystyle tan\theta =\frac{y}{x}}$　　

正割せいかつ（セカント）：  ${\displaystyle \sec \theta =\frac{1}{\cos \theta }=\frac{r}{x}}$ 　　

余割よかつ（コセカント）：  ${\displaystyle \mathrm{cosec}\theta or\csc \theta =\frac{1}{\sin \theta }=\frac{r}{y}}$ 　　

余接よせつ（コタンジェント）：  ${\displaystyle cot\theta =\frac{1}{\tan \theta }=\frac{x}{y}}$　　

と定義される．ただし

${\displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2}}$

である．

また，${\displaystyle x=0}$  のとき，すなわち，${\displaystyle \theta =90°\pm 180°\times n}$  ($n$  は整数) のとき${\displaystyle tan\theta }$ ， $\sec \theta$ の値は存在しない． ${\displaystyle y=0}$  のとき，すなわち，${\displaystyle \theta =\pm 180°\times n}$  ($n$  は整数) のとき${\displaystyle cot\theta }$ ， $\csc \theta$ の値は存在しない．

点$\text{P}$の座標を三角関数を用いて表すと

${\displaystyle \left(x,y\right)=\left(r\cos \theta ,r\sin \theta \right)}$

となる．

⇒三角比を参照のこと

特に，半径が1の場合の右下図の円のことを単位円といい，単位円を用いると

正弦（サイン）： ${\displaystyle sin\theta =y}$

余弦（コサイン）： ${\displaystyle cos\theta =x}$  

${\displaystyle \left(x,y\right)=\left(\cos \theta ,\sin \theta \right)}$

となり，点$\text{P}$ の$y$ 座標が正接（sine），$x$ 座標が余弦(cosine)となる．

また， $\text{OP}$の延長線と ${\displaystyle x=1}$ との交点を$\text{S}$ とし，その $y$ 座標の値を $m$ とすると

正接（タンジェント）： ${\displaystyle tan\theta =m}$  

となる．⇒ 証明

単位円と各三角関数の関係も参照のこと

 

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最終更新日： 2024年11月13日

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