三角関数の合成公式

■ sin（正弦）での合成

$a sin θ + b cos θ$ $a sin θ + b cos θ$ $= \sqrt{a^{2} + b^{2}} sin (θ + α)$ $= \sqrt{a^{2} + b^{2}} sin (θ + α)$ 　･･････(1)

ただし， $α$ $α$ は $sin$ $sin$ の係数 $a$ $a$ を $x$ $x$ 成分， $cos$ $cos$ の係数 $b$ $b$ を $y$ $y$ 成分とする点 $P$ $P$ と原点 $O$ $O$ を結ぶ線分 $OP$ $OP$ と $x$ $x$ 軸のなす角を一般角で表したものである．

$\sqrt{a^{2} + b^{2}} \sin (θ + α)$ $\sqrt{a^{2} + b^{2}} \sin (θ + α)$ $= \sqrt{a^{2} + b^{2}} (\sin θ \cos α + \cos θ \sin α)$ $= \sqrt{a^{2} + b^{2}} (\sin θ \cos α + \cos θ \sin α)$

$= (\sqrt{a^{2} + b^{2}} \cos α) \sin θ + (\sqrt{a^{2} + b^{2}} \sin α) \cos θ$ $= (\sqrt{a^{2} + b^{2}} \cos α) \sin θ + (\sqrt{a^{2} + b^{2}} \sin α) \cos θ$

(1)が成り立つとすると

$\sqrt{a^{2} + b^{2}} \cos α = a$ $\sqrt{a^{2} + b^{2}} \cos α = a$ ， $\sqrt{a^{2} + b^{2}} \sin α = b$ $\sqrt{a^{2} + b^{2}} \sin α = b$

となる．いいかえると， $α$ $α$ は

$\sin α = \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ $\sin α = \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ , $\cos α = \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ $\cos α = \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

を満たす．図はこの関係を示したものである．通常， $- 180 ° < α ≦ 180 °$ $- 180 ° < α ≦ 180 °$ とする．

⇒公式の導出，ベクトルを用いた三角関数の合成公式の導出

■ cos（余弦）での合成

$a sin θ + b cos θ$ $a sin θ + b cos θ$ $= \sqrt{a^{2} + b^{2}} cos (θ - β)$ $= \sqrt{a^{2} + b^{2}} cos (θ - β)$ 　･･････(2)

ただし， $β$ $β$ は $cos$ $cos$ の係数 $b$ $b$ を $x$ $x$ 成分， $sin$ $sin$ の係数 $a$ $a$ を $y$ $y$ 成分とする点 $Q$ $Q$ と原点 $O$ $O$ を結ぶ線分 $OQ$ $OQ$ と $x$ $x$ 軸のなす角を一般角で表したものである．

$\sqrt{a^{2} + b^{2}} \cos (θ - β)$ $\sqrt{a^{2} + b^{2}} \cos (θ - β)$ $= \sqrt{a^{2} + b^{2}} (\cos θ \cos β + \sin θ \sin β)$ $= \sqrt{a^{2} + b^{2}} (\cos θ \cos β + \sin θ \sin β)$

$= (\sqrt{a^{2} + b^{2}} \cos β) \cos θ + (\sqrt{a^{2} + b^{2}} \sin β) \sin θ$ $= (\sqrt{a^{2} + b^{2}} \cos β) \cos θ + (\sqrt{a^{2} + b^{2}} \sin β) \sin θ$

(2)が成り立つとすると

$\sqrt{a^{2} + b^{2}} \sin β = a$ $\sqrt{a^{2} + b^{2}} \sin β = a$ ， $\sqrt{a^{2} + b^{2}} \cos β = b$ $\sqrt{a^{2} + b^{2}} \cos β = b$

となる．いいかえると， $β$ $β$ は

$\sin β = \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ $\sin β = \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ ， $\cos β = \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ $\cos β = \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

を満たす．図はこの関係を示したものである．通常， $- 180 ° < α ≦ 180 °$ $- 180 ° < α ≦ 180 °$ とする．

⇒公式の導出，ベクトルを用いた三角関数の合成公式の導出

■関連動画

■公式の導出

●sinでの合成：

$a > 0$ $a > 0$ ， $b > 0$ $b > 0$ ， $0 < θ < 90 °$ $0 < θ < 90 °$ の場合，図より合成公式が導かれる．

次に， $a \neq 0$ $a \neq 0$ あるいは $b \neq 0$ $b \neq 0$ において式を変形して合成の公式を導く．

$a sin θ + b cos θ$ $a sin θ + b cos θ$

$= \sqrt{a^{2} + b^{2}} \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} sin θ$ $= \sqrt{a^{2} + b^{2}} \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} sin θ$ $+ \sqrt{a^{2} + b^{2}} \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} cos θ$ $+ \sqrt{a^{2} + b^{2}} \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} cos θ$

$= \sqrt{a^{2} + b^{2}} (sin θ \cdot \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ $= \sqrt{a^{2} + b^{2}} (sin θ \cdot \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ $+ cos θ \cdot \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}})$ $+ cos θ \cdot \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}})$

$\frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} = cos α$ $\frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} = cos α$ ， $\frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} = sin α$ $\frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} = sin α$ とおくと

$= \sqrt{a^{2} + b^{2}} (sin θ cos α + cos θ sin α)$ $= \sqrt{a^{2} + b^{2}} (sin θ cos α + cos θ sin α)$

$= \sqrt{a^{2} + b^{2}} sin (θ + α)$ $= \sqrt{a^{2} + b^{2}} sin (θ + α)$ 　（ $∵$ $∵$ 加法定理より）

【参考】 $\sin (180 ° - (θ + α)) = \sin (θ + α)$ $\sin (180 ° - (θ + α)) = \sin (θ + α)$

三角関数の合成

●cosでの合成：

$a > 0$ $a > 0$ ， $b > 0$ $b > 0$ ， $0 < θ < 90 °$ $0 < θ < 90 °$ の場合，図より合成公式が導かれる．

次に， $a \neq 0$ $a \neq 0$ あるいは $b \neq 0$ $b \neq 0$ において式を変形して合成の公式を導く．

$a sin θ + b cos θ$ $a sin θ + b cos θ$ $= b cos θ + a sin θ$ $= b cos θ + a sin θ$

$= \sqrt{a^{2} + b^{2}} \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} cos θ$ $= \sqrt{a^{2} + b^{2}} \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} cos θ$ $+ \sqrt{a^{2} + b^{2}} \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} sin θ$ $+ \sqrt{a^{2} + b^{2}} \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} sin θ$

$= \sqrt{a^{2} + b^{2}} (cos θ \cdot \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ $= \sqrt{a^{2} + b^{2}} (cos θ \cdot \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ $+ sin θ \cdot \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}})$ $+ sin θ \cdot \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}})$

$\frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} = cos β$ $\frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} = cos β$ ， $\frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} = sin β$ $\frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} = sin β$ とおくと

$= \sqrt{a^{2} + b^{2}} (cos θ cos β + sin θ sin β)$ $= \sqrt{a^{2} + b^{2}} (cos θ cos β + sin θ sin β)$

$= \sqrt{a^{2} + b^{2}} cos (θ - β)$ $= \sqrt{a^{2} + b^{2}} cos (θ - β)$ 　（ $∵$ $∵$ 加法定理より）