円錐の体積

円錐の体積は，

$V = \frac{1}{3} π r^{2} h$ $V = \frac{1}{3} π r^{2} h$ （ $r$ $r$ ：半径， $h$ $h$ ：高さ）

の公式で求めることができる．

この公式は，円柱の体積の公式　 $V = π r^{2} h$ $V = π r^{2} h$ に $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$ をかけたものと考えることができるが，なぜ円柱の体積に $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$ をかけることにより円錐の体積が得られるのかを，定積分法と区分求積法を用いて説明する．

ここで，説明に用いる円錐は $f (x) = x$ $f (x) = x$ ， $0 ≦ x ≦ 1$ $0 ≦ x ≦ 1$ （半径1，高さ1）のものとする．

■導出

●円柱の体積

円柱の体積の公式より，

$V = π r^{2} h$ $V = π r^{2} h$

$= π \times 1^{2} \times 1$ $= π \times 1^{2} \times 1$

$= π$ $= π$

●円錐の体積の公式を用いた場合

円錐の体積の公式より，

$V = \frac{1}{3} π r^{2} h$ $V = \frac{1}{3} π r^{2} h$

$= \frac{1}{3} π \times 1^{2} \times 1$ $= \frac{1}{3} π \times 1^{2} \times 1$

$= \frac{π}{3}$ $= \frac{π}{3}$

●定積分の公式を用いた場合

定積分の基本式より，

$\int_{a}^{b} f (x) d x = {[F (x)]}_{a}^{b} = F (b) - F (a)$ $\int_{a}^{b} f (x) d x = {[F (x)]}_{a}^{b} = F (b) - F (a)$ 　　　（ $F (x)$ $F (x)$ は $f (x)$ $f (x)$ の原始関数の1である）

求める円錐の底面積 $S (x)$ $S (x)$ を $S (x) = π {f (x)}^{2}$ $S (x) = π {f (x)}^{2}$ とすると，（これについては，体積の計算を参照）

$\int_{0}^{1} S (x) d x$ $\int_{0}^{1} S (x) d x$

$= \int_{0}^{1} π {f (x)}^{2} d x$ $= \int_{0}^{1} π {f (x)}^{2} d x$

$= π \int_{0}^{1} x^{2} d x$ $= π \int_{0}^{1} x^{2} d x$

$= \frac{π}{3} (1^{3} - 0^{3})$ $= \frac{π}{3} (1^{3} - 0^{3})$

$= \frac{π}{3}$ $= \frac{π}{3}$

●区分求積法を用いた場合

右端型の場合

$\int_{0}^{1} S (x) d x$ $\int_{0}^{1} S (x) d x$

$= \int_{0}^{1} π x^{2} d x$ $= \int_{0}^{1} π x^{2} d x$

$= lim_{n \to \infty} \frac{π}{n} {f (1) + f (2) +$ $= lim_{n \to \infty} \frac{π}{n} {f (1) + f (2) +$ $\dots + f (n - 1) + f (n)}$ $\dots + f (n - 1) + f (n)}$

$= lim_{n \to \infty} \frac{π}{n} {{(\frac{1}{n})}^{2} + {(\frac{2}{n})}^{2} +$ $= lim_{n \to \infty} \frac{π}{n} {{(\frac{1}{n})}^{2} + {(\frac{2}{n})}^{2} +$ $\dots + {(\frac{n - 1}{n})}^{2} + {(\frac{n}{n})}^{2}}$ $\dots + {(\frac{n - 1}{n})}^{2} + {(\frac{n}{n})}^{2}}$

$= lim_{n \to \infty} \frac{π}{n} \cdot \frac{1}{n^{2}} {1^{2} + 2^{2} +$ $= lim_{n \to \infty} \frac{π}{n} \cdot \frac{1}{n^{2}} {1^{2} + 2^{2} +$ $\dots + {(n - 1)}^{2} + n^{2}}$ $\dots + {(n - 1)}^{2} + n^{2}}$

$= lim_{n \to \infty} \frac{π}{n} \cdot \frac{1}{n^{2}} \cdot \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)$ $= lim_{n \to \infty} \frac{π}{n} \cdot \frac{1}{n^{2}} \cdot \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)$

$\frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)$ $\frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)$ については， $\sum_{k = 1}^{n} k^{2}$ $\sum_{k = 1}^{n} k^{2}$ の計算式を参照．

$= lim_{n \to \infty} \frac{π}{6} (1 + \frac{1}{n}) (2 + \frac{1}{n})$ $= lim_{n \to \infty} \frac{π}{6} (1 + \frac{1}{n}) (2 + \frac{1}{n})$

$lim_{n \to \infty}$ $lim_{n \to \infty}$ より， $\frac{1}{n} = \frac{1}{\infty} = 0$ $\frac{1}{n} = \frac{1}{\infty} = 0$ のため， $\frac{π}{6} (1 + 0) (2 + 0) = \frac{π}{3}$ $\frac{π}{6} (1 + 0) (2 + 0) = \frac{π}{3}$

$= \frac{π}{3}$ $= \frac{π}{3}$

左端型の場合

$\int_{0}^{1} S (x) d x$ $\int_{0}^{1} S (x) d x$

$= \int_{0}^{1} π x^{2} d x$ $= \int_{0}^{1} π x^{2} d x$

$= lim_{n \to \infty} \frac{π}{n} {{(\frac{0}{n})}^{2} + {(\frac{1}{n})}^{2} +$ $= lim_{n \to \infty} \frac{π}{n} {{(\frac{0}{n})}^{2} + {(\frac{1}{n})}^{2} +$ $\dots + {(\frac{n - 2}{n})}^{2} + {(\frac{n - 1}{n})}^{2}}$ $\dots + {(\frac{n - 2}{n})}^{2} + {(\frac{n - 1}{n})}^{2}}$

$= lim_{n \to \infty} \frac{π}{n} \cdot \frac{1}{n^{2}} {0^{2} + 1^{2} +$ $= lim_{n \to \infty} \frac{π}{n} \cdot \frac{1}{n^{2}} {0^{2} + 1^{2} +$ $\dots + {(n - 2)}^{2} + {(n - 1)}^{2}}$ $\dots + {(n - 2)}^{2} + {(n - 1)}^{2}}$

$= lim_{n \to \infty} \frac{π}{n} \cdot \frac{1}{n^{2}} \cdot \frac{1}{6} (n - 1) n {2 (n - 1) + 1}$ $= lim_{n \to \infty} \frac{π}{n} \cdot \frac{1}{n^{2}} \cdot \frac{1}{6} (n - 1) n {2 (n - 1) + 1}$

$\frac{1}{6} (n - 1) n {2 (n - 1) + 1}$ $\frac{1}{6} (n - 1) n {2 (n - 1) + 1}$ については， $\sum_{k = 1}^{n} k^{2}$ $\sum_{k = 1}^{n} k^{2}$ の計算式を参照．

$= lim_{n \to \infty} \frac{π}{n} \cdot \frac{1}{n^{2}} \cdot \frac{1}{6} (n - 1) n (2 n - 1)$ $= lim_{n \to \infty} \frac{π}{n} \cdot \frac{1}{n^{2}} \cdot \frac{1}{6} (n - 1) n (2 n - 1)$

$= lim_{n \to \infty} \frac{π}{6} (1 - \frac{1}{n}) (2 - \frac{1}{n})$ $= lim_{n \to \infty} \frac{π}{6} (1 - \frac{1}{n}) (2 - \frac{1}{n})$

$lim_{n \to \infty}$ $lim_{n \to \infty}$ より， $\frac{1}{n} = \frac{1}{\infty} = 0$ $\frac{1}{n} = \frac{1}{\infty} = 0$ のため， $\frac{π}{6} (1 - 0) (2 - 0) = \frac{π}{3}$ $\frac{π}{6} (1 - 0) (2 - 0) = \frac{π}{3}$

$= \frac{π}{3}$ $= \frac{π}{3}$

これより，定積分の公式と区分求積法のどちらの方法を用いても，円錐の体積は円柱の体積に $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$ をかけたものであることがわかる．また，区分求積法の具体的な計算例についてはここを参照．

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最終更新日： 2023年7月28日

円錐の体積

■導出

●円柱の体積

●円錐の体積の公式を用いた場合

●定積分の公式を用いた場合

●区分求積法を用いた場合

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