重積分の計算問題

次の重積分を計算せよ．

(*)	$\int_{0}^{2} \int_{\frac{y}{2}}^{1} (x + y) d x d y$ ⇒ 解答

(*)	$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1 - x} (x^{2} - 2 y) d y d x$ ⇒ 解答

(*)	$\int_{0}^{π} \int_{0}^{π} sin (x + y) d x d y$ ⇒ 解答

次の重積分を計算せよ．
1. $\iint_{D} y d x d y$ $(D : 0 ≦ x ≦ 1, 0 ≦ y ≦ x^{2})$ ⇒ 解答
2. $\iint_{D} (x^{3} + x y) d x d y$ $(D : 0 ≦ y ≦ 1, 0 ≦ x ≦ \sqrt{y})$ ⇒ 解答
3. $\iint_{D} (x^{2} - 2 y) d x d y$ $(D : x + y ≦ 1, x ≧ 0, y ≧ 0)$ ⇒ 解答　
4. $\iint_{D} \log x y d x d y$ $(D : 1 ≦ x ≦ 2, 1 ≦ y ≦ 2)$ ⇒ 解答
5. $\iint_{D} (2 x - y) d x d y$ $(D : - 3 ≦ x ≦ 3, 0 ≦ y ≦ 3)$ ⇒ 解答
6. $\iint_{D} x y^{2} d x d y$ $(D : 0 ≦ x ≦ 2, - 2 ≦ y ≦ 1)$ ⇒ 解答
7. $\iint_{D} (x - 2 x y + 3 y) d x d y$ $(D : - 1 ≦ x ≦ 1, - 2 ≦ y ≦ 0)$ ⇒ 解答
8. $\iint_{D} (x^{2} + y^{2}) d x d y$ $(D : - 2 ≦ x ≦ 2, - 2 ≦ y ≦ 2)$ ⇒ 解答
9. $\iint_{D} sin (x + y) d x d y$ $(D : 0 ≦ x ≦ π, 0 ≦ y ≦ π)$ ⇒ 解答
10. $\iint_{D} 2 x cos y d x d y$ $(D : 0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}, \frac{π}{6} ≦ y ≦ \frac{π}{2})$ ⇒ 解答
11. $\iint_{D} r sin θ d r d θ$ $(D : \frac{π}{3} ≦ θ ≦ π, 0 ≦ r ≦ 4)$ ⇒ 解答
12. $\iint_{D} x d x d y$ $(D : \frac{x}{2} + \frac{y}{4} ≦ 1, x ≧ 0, y ≧ 0)$ ⇒ 解答
13. $\iint_{D} (x + y) d x d y$ $(D : \frac{x}{3} + y ≦ 2, x ≧ 0, y ≧ 0)$ ⇒ 解答
14. $\iint_{D} x y d x d y$ $(D : 2 x + \frac{y}{2} ≦ 1, x ≧ 0, y ≧ 0)$ ⇒ 解答
15. $\iint_{D} (x^{2} + y^{2}) d x d y$ $(D : x + y ≦ 2, x ≧ 0, y ≧ 0)$ ⇒ 解答
16. $\iint_{D} sin (x + y) d x d y$ $(D : x + y ≦ π, x ≧ 0, y ≧ 0)$ ⇒ 解答
17. $\iint_{D} (4 - x - y) d x d y$ $(D : 0 ≦ x ≦ 2, - x ≦ y ≦ x)$ ⇒ 解答
18. $\iint_{D} {(x - y)}^{2} d x d y$ $(D : | x + 2 | ≦ 1, | x - 2 y | ≦ 1)$ ⇒ 解答
19. $\iint_{D} x d x d y$ $(D : 0 ≦ y ≦ 3 x - x^{2})$ ⇒ 解答
20. $\iint_{D} (x + 2) d x d y$ $(D : - 1 ≦ x ≦ 1, 0 ≦ y ≦ x^{2} + 1)$ ⇒ 解答
21. $\iint_{D} (2 x y + 3 y^{2}) d x d y$ $(D : x^{2} ≦ y ≦ x)$ ⇒ 解答
22. $\iint_{D} (2 x + y) d x d y$ $(D : x^{2} ≦ y ≦ x + 2)$ ⇒ 解答
23. $\iint_{D} x y d x d y$ $(D : x^{2} ≦ y ≦ x)$ ⇒ 解答
24. $\iint_{D} y^{2} d x d y$ $(D : x^{2} + y^{2} ≦ 9, x ≧ 0)$ ⇒ 解答
25. $\iint_{D} (x^{2} - y^{2}) (x + y) d x d y$ $(D : 0 ≦ x + y ≦ 2, - 1 ≦ x - y ≦ 2)$ ⇒ 解答
26. $\iint_{D} 4 (x^{2} + 2 x y + y^{2}) (x^{2} - y^{2}) d x d y$ $(D : 0 ≦ x + y ≦ 2, - 1 ≦ x - y ≦ 2)$ ⇒ 解答
27. $\iint_{D} x \sin x y d x d y$ $(D : 0 ≦ x ≦ 1, 0 ≦ y ≦ \frac{π}{2})$ ⇒ 解答
28. $\iint_{D} e^{x} \cos y d x d y$ $(D : 0 ≦ x ≦ 1, 0 ≦ y ≦ \frac{π}{4})$ ⇒ 解答
29. $\iint_{D} e^{x} \sin y d x d y$ $(D : 0 ≦ x ≦ 1, 0 ≦ y ≦ π x)$ ⇒ 解答
30. $\iint_{D} \frac{x - y}{1 + x + y} d x d y$ $(D : 0 ≦ x + y ≦ 1, 0 ≦ x - y ≦ 1)$ ⇒ 解答
31. $\iint_{D} 64 x y d x d y$ $(D : 1 ≦ x + y ≦ 2, - 2 ≦ x - 3 y ≦ 0)$ ⇒ 解答
32. $\iint_{D} (2 x - y) d x d y$ $(D : 0 ≦ x ≦ 1, x ≦ y ≦ \sqrt{x})$ ⇒ 解答
33. $\iint_{D} \sqrt{a^{2} - x^{2} - y^{2}} d x d y$ $(D : x^{2} + y^{2} ≦ a x)$ ⇒ 解答
34. $\iint_{D} (x^{2} + y^{2}) e^{- x - y} d x d y$ $(D : - 2 < x + y < 2, - 2 < x - y < 2)$ ⇒ 解答
35. $\iint_{D} 4 (x^{2} + 2 x y + y^{2}) (x^{2} - y^{2}) d x d y$ $(D : 0 ≦ x + y ≦ 2, - 1 ≦ x - y ≦ 2)$ ⇒ 解答
36. $\iint_{D} (x^{3} + y^{3}) d x d y$ $(D : 0 ≦ x + y ≦ 1, - 1 ≦ x - 2 y ≦ 2)$ ⇒ 解答
次の問題に答えよ．
1. 次の変数変換の場合のヤコビアン $J (u, v)$ を計算せよ．
  $x = 6 u - 7 v$ ， $y = 3 u + 5 v$ ⇒ 解答
2. 積分の順序を変更して次の重積分を求めよ．
  $\int_{0}^{2 a} (\int_{\frac{x^{2}}{a}}^{6 a - x} y d y) d x$ ⇒ 解答

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最終更新日： 2025年8月21日