対数の定義

a > 0

$a > 0$ ，

a \neq 1

$a \neq 1$ とするとき，どのような正の数

R

$R$ に対しても

$a^{r} = R$ $a^{r} = R$

を満たす実数 $r$ $r$ が，ただ1つ定まる（参照）．この $r$ $r$ の値を， $a$ $a$ を底とする $R$ $R$ の対数といい

$r = {log}_{a} R$ $r = {log}_{a} R$

で表す． $R$ $R$ をこの対数の真数といい，

$R > 0$ $R > 0$

である． $R > 0$ $R > 0$ のことを真数条件という．

対数の定義より，指数と対数の間には

$r = {log}_{a} R \Leftrightarrow a^{r} = R$ $r = {log}_{a} R \Leftrightarrow a^{r} = R$

となる関係が成り立つ．

■関連動画

$a > 0$ $a > 0$ ， $a \neq 1$ $a \neq 1$ ， $R > 0$ $R > 0$ ， $S > 0$ $S > 0$ とするとき

${log}_{a} R S = {log}_{a} R + {log}_{a} S$ ${log}_{a} R S = {log}_{a} R + {log}_{a} S$ ⇒証明
${log}_{a} \frac{R}{S} = {log}_{a} R - {log}_{a} S$ ${log}_{a} \frac{R}{S} = {log}_{a} R - {log}_{a} S$ ⇒証明
${log}_{a} R^{t} = t {log}_{a} R$ ${log}_{a} R^{t} = t {log}_{a} R$ ⇒証明
${log}_{a} a = 1$ ${log}_{a} a = 1$ $(∵ a^{1} = a)$ $(∵ a^{1} = a)$ ⇒ 証明
${log}_{a} 1 = 0$ ${log}_{a} 1 = 0$ $(∵ a^{0} = 1)$ $(∵ a^{0} = 1)$ ⇒ 証明
${log}_{a} R = \frac{{log}_{b} R}{{log}_{b} a}$ ${log}_{a} R = \frac{{log}_{b} R}{{log}_{b} a}$ ⇒証明

最終更新日： 2024年11月1日