指数が有理数の場合（指数を整数から有理数に拡張）

$a > 0$ ， $m$ ， $n$ は正の整数とする．また， $r$ を正の有理数とする．このとき

$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$ 　⇒累乗根を参照

言い換えると $a$ の $\frac{m}{n}$ 乗は $a$ の $m$ 乗の $n$ 乗根

$a^{- r} = \frac{1}{a^{r}}$

と定める．　

具体例として

$\sqrt[3]{2^{5}} = 2^{\frac{5}{3}}$ ， $\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^{4}} = 3^{\frac{4}{4}} = 3^{1} = 3$

$3^{- 1.5} = 3^{- \frac{3}{2}} = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{3^{3}}} = \frac{1}{3 \sqrt{3}}$

このように定めると， $a$ の $n$ 乗 $a^{n}$ の指数 $n$ が有理数の場合でも，指数法則が成り立つ．ただし，底の条件は $a \neq 0$ ， $b \neq 0$ から $a > 0$ ， $b > 0$ に変わる（累乗根のn が偶数の場合を参照）．

$a > 0$ ， $b > 0$ ， $r$ ， $s$ は有理数とするとき

$2^{- 1.5}$ と $2^{2.5}$ の積を考える．

$2^{- 1.5} = 2^{- \frac{3}{2}} = \frac{1}{2^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2^{3}}} = \frac{1}{2 \sqrt{2}}$

$2^{2.5} = 2^{\frac{5}{2}} = \sqrt{2^{5}} = 2^{2} \sqrt{2} = 4 \sqrt{2}$

よって

$2^{- 1.5} \times 2^{2.5} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \times 4 \sqrt{2} = 2$

一方，指数法則を使って計算すると

$2^{- 1.5} \times 2^{2.5} = 2^{- 1.5 + 2.5} = 2^{1} = 2$

となり，結果は一致する．

■参考

最終更新日： 2023年7月28日