演習問題

図のように，長さ ${\displaystyle L}$ の伸縮しない軽い糸に質量 ${\displaystyle m}$ の小球をつけて，振幅の小さな振動をさせる．重力加速度の大きさを ${\displaystyle g}$ とすると，小球が鉛直線から角 ${\displaystyle \theta }$ だけずれたとき，小球に作用する力の軌道の接線方向成分は

${\displaystyle F=-mg\sin \theta }$

である．このとき，原点Oからの小球の移動距離（弧の長さ）は ${\displaystyle s=L\theta }$ であるので，小球の加速度の接線方向成分は

${\displaystyle a=\frac{d^{2}s}{d{t}^2}=\frac{d^2(L\theta )}{d{t}^2}=L\frac{d^2\theta }{d{t}^2}}$

と表せる．以下の問に答えよ．

次の式をラプラス変換を用いて，一般解を求めなさい．

${\displaystyle y\text{'}\text{'}+3y\text{'}+2y=0}$　　(初期条件：${\displaystyle y\left(0\right)=1}$，${\displaystyle y^{\prime }\left(0\right)=0}$ )

次の式をラプラス変換を用いて，一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}+2y^{\prime }+y=0}$

(初期条件：${\displaystyle y\left(0\right)=0}$，${\displaystyle y^{\prime }\left(0\right)=2}$)

次の式をラプラス変換を用いて，一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}-5y^{\prime }+6y=0}$ 　　　(初期条件：${\displaystyle y\left(0\right)=1}$，${\displaystyle y^{\prime }\left(0\right)=0}$)

次の式をラプラス変換を用いて，一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}-2y^{\prime }+y=0}$

(初期条件：${\displaystyle y\left(0\right)=2}$，${\displaystyle y^{\prime }\left(0\right)=3}$)

次の式をラプラス変換を用いて，一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}-10y^{\prime }+29y=0}$

(初期条件：${\displaystyle y\left(0\right)=-1}$，${\displaystyle y^{\prime }\left(0\right)=0}$)

次の式をラプラス変換を用いて，一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}-5y^{\prime }+4y=0}$

(初期条件：${\displaystyle y\left(0\right)=0}$，${\displaystyle y^{\prime }\left(0\right)=-1}$)

次の式をラプラス変換を用いて，一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}+2y^{\prime }=0}$

(初期条件：${\displaystyle y\left(0\right)=1}$，${\displaystyle y^{\prime }\left(0\right)=-2}$)

次の式をラプラス変換を用いて，一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}+y^{\prime }+y=0}$

(初期条件：${\displaystyle y\left(0\right)=0}$，${\displaystyle y^{\prime }\left(0\right)=1}$)

次の式をラプラス変換を用いて，一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}+3y=0}$　　(初期条件：${\displaystyle y\left(0\right)=1}$，${\displaystyle y^{\prime }\left(0\right)=3}$ )

次の式をラプラス変換を用いて，一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}-10y^{\prime }+25y=0}$

(初期条件：${\displaystyle y\left(0\right)=\frac{1}{2}}$，${\displaystyle y^{\prime }\left(0\right)=3}$)

次の式をラプラス変換を用いて，一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}-y^{\prime }-2y=4t^2}$

(初期条件：${\displaystyle y\left(0\right)=1}$，${\displaystyle y^{\prime }\left(0\right)=-1}$)

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}+2y^{\prime }+2y=0}$

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}-5y^{\prime }+4y=0}$

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}+2y^{\prime }+y=0}$

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}+2y^{″}=0}$

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}-5y^{\prime }+6y=0}$

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}+y^{\prime }+y=0}$

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}-2y^{\prime }+y=0}$

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}+3y=0}$

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}-10y^{\prime }+29y=0}$

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}-10y^{\prime }+25y=0}$

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}-y^{\prime }-2y=4x^2}$

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}-y^{\prime }=-3x^2}$

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}-y^{\prime }-2y=4e^{3x}}$

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}+4y=4\cos 2x}$

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}-y^{\prime }-2y=18x{e}^{2x}}$

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}-2y^{\prime }+2y=2e^x\cos 2x}$

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}-y^{\prime }-2y=9e^{2x}}$

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}+y^{\prime }-2y=e^x+2x}$

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}+2y=2x^2}$

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \left(D^2-5D+6\right)y=18x}$

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \left(D^2-8D+15\right)y=e^{4x}}$