問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

ベルヌーイの微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=y^3}$

■答

${\displaystyle y=\pm \frac{1}{\sqrt{2x+C{x}^2}}}$　（${\displaystyle C}$は任意定数）

■ヒント

ベルヌーイ微分方程式の解法

${\displaystyle y^{\prime }+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)y^n}$ 　　(${\displaystyle n\ne 0,1}$)

${\displaystyle z=y^{1-n}}$とおいて，これを ${\displaystyle x}$と ${\displaystyle z}$の微分方程式に書き換えれば，線形微分方程式になる．

(⇒詳しくはこちら)

■解き方

${\displaystyle \frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=y^3}$ ･･････(1)

${\displaystyle z=y^{-2}}$  ･･････(2)

とおき，(2)式を${\displaystyle x}$ で微分すると

${\displaystyle z^{\prime }=-2y^{-3}{y}^{\prime }}$

${\displaystyle z^{\prime }=-\frac{2}{y^3}{y}^{\prime }}$

この式の両辺に${\displaystyle -\frac{1}{2}{y}^3}$をかけると

${\displaystyle y^{\prime }=-\frac{1}{2}{y}^3{z}^{\prime }}$

これを(1)式に代入すると

${\displaystyle -\frac{1}{2}{y}^3{z}^{\prime }+\frac{y}{x}=y^3}$

この式の両辺を${\displaystyle -y^3}$で割ると

${\displaystyle \frac{1}{2}{z}^{\prime }-\frac{1}{x{y}^2}=-1}$

さらに両辺に${\displaystyle 2}$ をかけると

${\displaystyle z^{\prime }-\frac{2}{x{y}^2}=-2}$  ･･････(3)

${\displaystyle z=y^{-2}=\frac{1}{y^2}}$ なので(3)式に代入すると

${\displaystyle z^{\prime }-\frac{2}{x}z=-2}$

線形微分方程式の一般解の公式を利用する

(⇒詳しくはこちら)

線形微分方程式

${\displaystyle y^{\prime }+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)}$

の一般解は

${\displaystyle y=e^{-{\displaystyle \int Pdx}}\left({\displaystyle \int Q{e}^{{\displaystyle \int Pdx}}dx}+C\right)}$　（${\displaystyle C}$は任意定数）

このことを利用すると

${\displaystyle z=e^{{\displaystyle \int \frac{2}{x}dx}}\left({\displaystyle \int -2e^{-{\displaystyle \int \frac{2}{x}dx}}dx}+C\right)}$

積分すると

${\displaystyle z}$${\displaystyle =e^{2\log \left|x\right|}\left(-2{\displaystyle \int e^{-2\log \left|x\right|}dx}+C\right)}$

${\displaystyle =e^{\log x^2}\left(-2{\displaystyle \int e^{\log x^{-2}}dx}+C\right)}$

${\displaystyle e^{\log F\left(x\right)}=F\left(x\right)}$ となるので

${\displaystyle z}$${\displaystyle =x^2\left(-2{\displaystyle \int x^{-2}dx}+C\right)}$

${\displaystyle =x^2\left(2x^{-1}+C\right)}$

${\displaystyle =2x+C{x}^2}$

${\displaystyle z=\frac{1}{y^2}}$を代入すると

${\displaystyle \frac{1}{y^2}=2x+C{x}^2}$

したがって

${\displaystyle \left(2x+C{x}^2\right)y^2=1}$

${\displaystyle y^2=\frac{1}{2x+C{x}^2}}$

${\displaystyle y=\pm \frac{1}{\sqrt{2x+C{x}^2}}}$

　

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最終更新日： 2023年6月13日

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