ベルヌーイの微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{2 x} = (2 x^{2} + 1) y^{3}$

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{C - x^{4} - x^{2}}}$ 　（ $C$ は任意定数）

ベルヌーイ微分方程式の解法

$y^{'} + P (x) y = Q (x) y^{n}$ 　　　( $n \neq 0, 1$ )

$z = y^{1 - n}$ とおいて，これを $x$ と $z$ の微分方程式に書き換えれば，線形微分方程式になる．

(⇒詳しくはこちら)

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{2 x} = (2 x^{2} + 1) y^{3}$ ･･････(1)

$z = y^{- 2}$ ･･････(2)

とおき，(2)式を $x$ で微分すると

$z^{'} = - 2 y^{- 3} y^{'}$

$z^{'} = - \frac{2}{y^{3}} y^{'}$

この式の両辺に $- \frac{1}{2} y^{3}$ をかけると

$y^{'} = - \frac{1}{2} y^{3} z^{'}$

これを(1)式に代入すると

$- \frac{1}{2} y^{3} z^{'} - \frac{y}{2 x} = (2 x^{2} + 1) y^{3}$

この式の両辺を $- y^{3}$ で割ると

$\frac{1}{2} z^{'} + \frac{1}{2 x y^{2}} = - 2 x^{2} - 1$

さらに両辺に $2$ をかけると

$z^{'} + \frac{1}{x y^{2}} = - 4 x^{2} - 2$ ･･････(3)

$z = y^{- 2} = \frac{1}{y^{2}}$ なので(3)式に代入すると

$z^{'} + \frac{1}{x} z = - 4 x^{2} - 2$

線形微分方程式の一般解の公式を利用する

(⇒詳しくはこちら)

線形微分方程式

$y^{'} + P (x) y = Q (x)$

の一般解は

$y = e^{- \int P d x} (\int Q e^{\int P d x} d x + C)$ 　（ $C$ は任意定数）

このことを利用すると

$z = e^{- \int \frac{1}{x} d x} (\int (- 4 x^{2} - 2) e^{\int \frac{1}{x} d x} d x + C)$

積分すると

$z$ $= e^{- \log | x |} (\int (- 4 x^{2} - 2) e^{\log | x |} d x + C)$

$= \frac{1}{x} (\int (- 4 x^{2} - 2) x d x + C)$

$= \frac{1}{x} (\int (- 4 x^{3} - 2 x) d x + C)$

$= \frac{1}{x} (- x^{4} - x^{2} + C)$

$z = \frac{1}{y^{2}}$ を代入すると

$\frac{1}{y^{2}} = \frac{1}{x} (C - x^{4} - x^{2})$

したがって

$x = y^{2} (C - x^{4} - x^{2})$

$y^{2} = \frac{x}{C - x^{4} - x^{2}}$

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{C - x^{4} - x^{2}}}$

最終更新日： 2023年6月13日