線形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

$(1 - x^{2}) y^{'} = x^{2} - x y - 1$

・ $- 1 < x < 1$ の場合

$y = - \sqrt{1 - x^{2}} \sin^{- 1} x + C \sqrt{1 - x^{2}}$

・ $x < - 1$ ， $x > 1$ の場合

$y = - \sqrt{x^{2} - 1} \log |x + \sqrt{x^{2} - 1}|$ $+ C \sqrt{x^{2} - 1}$

・ $x = 1$ の場合

$y = 0$

ただし， $C$ は任意定数

線形微分方程式の一般解の公式を利用する

線形微分方程式

$y^{'} + P (x) y = Q (x)$

一般解

$y = e^{- \int P d x} (\int Q e^{\int P d x} d x + C)$

$(1 - x^{2}) y^{'} = x^{2} - x y - 1$ 　･･････(1)

(1)式を変形すると

$(1 - x^{2}) y^{'} + x y = - (1 - x^{2})$

・ $x \neq 1$ の場合

この式の両辺を $(1 - x^{2})$ で割ると

$y^{'} + \frac{x}{1 - x^{2}} y = - 1$ 　･･････(2)

線形微分方程式

$y^{'} + P (x) y = Q (x)$

の一般解は

$y = e^{- \int P d x} (\int Q e^{\int P d x} d x + C)$

このことを利用すると，(2)の一般解は次のような式で求まる．

$y = e^{- \int \frac{x}{1 - x^{2}} d x} \{\int (- e^{\int \frac{x}{1 - x^{2}} d x}) d x + C\}$

⇒ $\int \frac{x}{1 - x^{2}} d x$ の積分方法はこちら

$y = e^{\log \sqrt{|1 - x^{2}|}} \{\int (- e^{\log \frac{1}{\sqrt{|1 - x^{2}|}}}) d x + C\}$

$y = \sqrt{|1 - x^{2}|} (- \int \frac{1}{\sqrt{|1 - x^{2}|}} d x + C)$

＊ $- 1 < x < 1$ の場合

$y = \sqrt{1 - x^{2}} (- \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x + C)$

⇒ $\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$ の積分法方はこちら

$= - \sqrt{1 - x^{2}} \sin^{- 1} x + C \sqrt{1 - x^{2}}$

＊ $x < - 1$ ， $x > 1$ の場合

$y = \sqrt{x^{2} - 1} (- \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x + C)$

⇒ $\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$ の積分法方はこちら

$= - \sqrt{x^{2} - 1} \log |x + \sqrt{x^{2} - 1}|$ $+ C \sqrt{x^{2} - 1}$

・ $x = 1$ の場合

$y = 0$

最終更新日： 2024年10月7日