合成関数の偏微分

■問題

$z = x tan y, x = {sin}^{- 1} 2 t, y = {cos}^{- 1} 2 t$ のとき， $\frac{d z}{d t}$ を求めよ．

■答

$\frac{1}{t} - \frac{\sin^{- 1} 2 t}{2 t^{2} \sqrt{1 - 4 t^{2}}}$

■ヒント

合成関数の偏微分の公式を用いて偏微分する．

■解説

${sin}^{- 1}$ の微分の公式より

$\frac{d x}{d t} = \frac{{(2 t)}^{'}}{\sqrt{1 - {(2 t)}^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{1 - 4 t^{2}}}$

${cos}^{- 1}$ の微分の公式より

$\frac{d y}{d t} = - \frac{{(2 t)}^{'}}{\sqrt{1 - {(2 t)}^{2}}} = - \frac{2}{\sqrt{1 - 4 t^{2}}}$

偏導関数の定義より， $y$ を定数とみなして $x$ で微分する．

$z_{x} = \frac{\partial z}{\partial x} = tan y$

偏導関数の定義より， $x$ を定数とみなして $y$ で微分する．

$z_{y} = \frac{\partial z}{\partial y} = x \cdot \frac{1}{{cos}^{2} y} = \frac{x}{{cos}^{2} x}$

合成関数の偏微分の公式より

$\frac{d z}{d t}$ $= z_{x} \frac{d x}{d t} + z_{y} \frac{d y}{d t}$

上で求めた式をそれぞれ代入すると

$= \tan y (\frac{2}{\sqrt{1 - 4 t^{2}}}) + \frac{x}{\cos^{2} y} (- \frac{2}{\sqrt{1 - 4 t^{2}}})$

$= \frac{2}{\sqrt{1 - 4 t^{2}}} \{\frac{\sin (\cos^{- 1} 2 t)}{\cos (\cos^{- 1} 2 t)} - \frac{\sin^{- 1} 2 t}{{(2 t)}^{2}}\}$

$= \frac{2}{\sqrt{1 - 4 t^{2}}} \{\frac{\sqrt{1 - \cos^{2} (\cos^{- 1} 2 t)}}{2 t} - \frac{\sin^{- 1} 2 t}{4 t^{2}}\}$

$= \frac{2}{\sqrt{1 - 4 t^{2}}} \{\frac{\sqrt{1 - {(2 t)}^{2}}}{2 t} - \frac{\sin^{- 1} 2 t}{4 t^{2}}\}$

$= \frac{1}{t} - \frac{\sin^{- 1} 2 t}{2 t^{2} \sqrt{1 - 4 t^{2}}}$

■別解

$z = x \tan y$ に $x = \sin^{- 1} 2 t$ ， $y = \cos^{- 1} 2 t$ を代入する．

$z = (\sin^{- 1} 2 t) \tan (\cos^{- 1} 2 t)$

よって

$\frac{d z}{d t} = (\frac{d}{d t} \sin^{- 1} 2 t) \tan (\cos^{- 1} 2 t) + (\sin^{- 1} 2 t) \{\frac{d}{d t} \tan (\cos^{- 1} 2 t)\}$

$= \frac{2}{\sqrt{1 - {(2 t)}^{2}}} \frac{\sin^{- 1} (\cos^{- 1} 2 t)}{\cos (\cos^{- 1} 2 t)} + (\sin^{- 1} 2 t) \frac{1}{{\{\cos (\cos^{- 1} 2 t)\}}^{2}} (- \frac{2}{\sqrt{1 - {(2 t)}^{2}}})$

$= \frac{2}{\sqrt{1 - 4 t^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - {\{\cos (\cos^{- 1} 2 t)\}}^{2}}}{2 t} - \frac{\sin^{- 1} 2 t}{{(2 t)}^{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{1 - 4 t^{2}}}$

$= \frac{2}{\sqrt{1 - 4 t^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - {(2 t)}^{2}}}{2 t} - \frac{\sin^{- 1} 2 t}{{(2 t)}^{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{1 - 4 t^{2}}}$

$= \frac{1}{t} - \frac{\sin^{- 1} 2 t}{2 t^{2} \sqrt{1 - 4 t^{2}}}$

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最終更新日： 2024年6月30日