z=xtany , x= sin −1 2t , y= cos −1 2t のとき， dz dt を求めよ．
1 t − sin −1 2t 2 t 2 1−4 t 2
合成関数の偏微分の公式を用いて偏微分する．
sin −1 の微分の公式より
dx dt = 2t ′ 1− 2t 2 = 2 1−4 t 2
cos −1 の微分の公式より
dy dt =− 2t ′ 1− 2t 2 =− 2 1−4 t 2
偏導関数の定義より， y を定数とみなして x で微分する．
z x = ∂ z ∂ x = tan y
偏導関数の定義より， x を定数とみなして y で微分する．
z y = ∂ z ∂ y = x · 1 cos 2 y = x cos 2 x
合成関数の偏微分の公式より
dz dt = z x dx dt + z y dy dt
上で求めた式をそれぞれ代入すると
=tany 2 1−4 t 2 + x cos 2 y − 2 1−4 t 2
= 2 1−4 t 2 sin cos −1 2t cos cos −1 2t − sin −1 2t 2t 2
= 2 1−4 t 2 1− cos 2 cos −1 2t 2t − sin −1 2t 4 t 2
= 2 1−4 t 2 1− 2t 2 2t − sin −1 2t 4 t 2
= 1 t − sin −1 2t 2 t 2 1−4 t 2
z=xtany に x= sin −1 2t ， y= cos −1 2t を代入する．
z= sin −1 2t tan cos −1 2t
よって
dz dt = d dt sin −1 2t tan cos −1 2t + sin −1 2t d dt tan cos −1 2t
= 2 1− 2t 2 sin −1 cos −1 2t cos cos −1 2t + sin −1 2t 1 cos cos −1 2t 2 − 2 1− 2t 2
= 2 1−4 t 2 ⋅ 1− cos cos −1 2t 2 2t − sin −1 2t 2t 2 ⋅ 2 1−4 t 2
= 2 1−4 t 2 ⋅ 1− 2t 2 2t − sin −1 2t 2t 2 ⋅ 2 1−4 t 2
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最終更新日： 2024年6月30日
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