2次の偏微分

■問題

z=f( x,y ) ， x=2 t 2 −3 ， y= t 2 +3t+7 のとき， d 2 z d t 2 を求めよ．

■答

16 t 2 f xx +8t( 2t+3 ) f xy + f yy ( 2t+3 ) 2 +4 f x +2 f y

■ヒント

x， y を t で2回微分する．求めた式を合成関数の2次偏導関数の公式に 代入する．

■解説

x を t で微分すると，

d x d t = 4 t

これを更に t で微分すると，

d 2 x d t 2 = d d t ( d x d t ) = d d t ( 4 t ) = 4

同様の手順で y を t で微分をすると

d y d t = 2 t + 3

更に， y を t で微分する． 

d 2 y d t 2 = d d t ( d y d t ) = d d t ( 2 t + 3 ) = 2

以上より

d 2 z d t 2 = f x x ( d x d t ) 2 + 2 f x y d x d t d y d t + f y y ( d y d t ) 2 + f x d 2 x d t 2 + f y d 2 y d t 2

= f x x ( 4 t ) 2 + 2 f x y 4 t ( 2 t + 3 ) + f y y ( 2 t + 3 ) 2 + 4 f x + 2 f y

= f x x 16 t 2 + 8 t ( 2 t + 3 ) f x y + f y y ( 2 t + 3 ) 2 + 4 f x + 2 f y

= 16 t 2 f x x + 8 t ( 2 t + 3 ) f x y + f y y ( 2 t + 3 ) 2 + 4 f x + 2 f y

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最終更新日： 2013年8月14日