問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

三角関数の方程式に関する問題

■問 題

次の方程式を解け．ただし， ${\displaystyle 0\leqq \theta <2\pi }$ とする．

${\displaystyle -4{sin}^2\theta +1=0}$

■答

${\displaystyle \theta =\frac{1}{6}\pi ,\frac{5}{6}\pi ,\frac{7}{6}\pi ,\frac{11}{6}\pi }$

■解説

以下のように式を変形する．

${\displaystyle -4{\sin }^2\theta +1=0}$

${\displaystyle {\sin }^2\theta =\frac{1}{4}}$

${\displaystyle \sin \theta =\pm \frac{1}{2}}$

${\displaystyle \sin \theta =\frac{1}{2}}$ のとき

${\displaystyle \theta =\frac{1}{6}\pi ,\frac{5}{6}\pi }$

参考： ${\displaystyle \sin \theta =\frac{1}{2}}$ ⇒ 解

${\displaystyle \sin \theta =-\frac{1}{2}}$ のとき

${\displaystyle \theta =\frac{7}{6}\pi ,\frac{11}{6}\pi }$

参考： ${\displaystyle \sin \theta =-\frac{1}{2}}$ ⇒ 解

●別解

公式 ${\displaystyle {\sin }^2+{\cos }^2=1}$ を用いて与式を次のように式を変形する．

${\displaystyle -4(1-{cos}^2\theta )+1=0}$

${\displaystyle \cos \theta =t}$ とおき，整理すると次のような2次方程式になる．

${\displaystyle -4(1-t^2)+1=0}$

${\displaystyle -4+4t^2+1=0}$

${\displaystyle 4t^2-3=0}$ ･･････(1)

(1)を因数分解して解くと次のようになる．

${\displaystyle (2t+\sqrt{3})(2t-\sqrt{3})=0}$

${\displaystyle t=\frac{\sqrt{3}}{2}}$ ， ${\displaystyle t=-\frac{\sqrt{3}}{2}}$

${\displaystyle t}$ を元に戻すと

${\displaystyle \cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}}$ ， ${\displaystyle \cos \theta =-\frac{\sqrt{3}}{2}}$

となり，これらの2つの方程式を解く．

${\displaystyle \cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}}$ ⇒ 解

${\displaystyle \cos \theta =-\frac{\sqrt{3}}{2}}$ ⇒ 解

よって

${\displaystyle cos\theta =\frac{\sqrt{3}}{2}}$ のとき

${\displaystyle \theta =\frac{1}{6}\pi ,\frac{11}{6}\pi }$

${\displaystyle cos\theta =-\frac{\sqrt{3}}{2}}$ のとき

${\displaystyle \theta =\frac{5}{6}\pi ,\frac{7}{6}\pi }$

　

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最終更新日： 2025年3月1日

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