三角関数の方程式に関する問題

■問題

次の方程式を解け．ただし， $0 ≦ θ < 2 π$ $0 ≦ θ < 2 π$ とする．

$- 4 {sin}^{2} θ + 1 = 0$ $- 4 {sin}^{2} θ + 1 = 0$

$θ = \frac{1}{6} π, \frac{5}{6} π, \frac{7}{6} π, \frac{11}{6} π$ $θ = \frac{1}{6} π, \frac{5}{6} π, \frac{7}{6} π, \frac{11}{6} π$

以下のように式を変形する．

$- 4 \sin^{2} θ + 1 = 0$ $- 4 \sin^{2} θ + 1 = 0$

$\sin^{2} θ = \frac{1}{4}$ $\sin^{2} θ = \frac{1}{4}$

$\sin θ = \pm \frac{1}{2}$ $\sin θ = \pm \frac{1}{2}$

$\sin θ = \frac{1}{2}$ $\sin θ = \frac{1}{2}$ のとき

$θ = \frac{1}{6} π, \frac{5}{6} π$ $θ = \frac{1}{6} π, \frac{5}{6} π$

参考： $\sin θ = \frac{1}{2}$ $\sin θ = \frac{1}{2}$ ⇒ 解

$\sin θ = - \frac{1}{2}$ $\sin θ = - \frac{1}{2}$ のとき

$θ = \frac{7}{6} π, \frac{11}{6} π$ $θ = \frac{7}{6} π, \frac{11}{6} π$

参考： $\sin θ = - \frac{1}{2}$ $\sin θ = - \frac{1}{2}$ ⇒ 解

公式 $\sin^{2} + \cos^{2} = 1$ $\sin^{2} + \cos^{2} = 1$ を用いて与式を次のように式を変形する．

$- 4 (1 - {cos}^{2} θ) + 1 = 0$ $- 4 (1 - {cos}^{2} θ) + 1 = 0$

$\cos θ = t$ $\cos θ = t$ とおき，整理すると次のような2次方程式になる．

$- 4 (1 - t^{2}) + 1 = 0$ $- 4 (1 - t^{2}) + 1 = 0$

$- 4 + 4 t^{2} + 1 = 0$ $- 4 + 4 t^{2} + 1 = 0$

$4 t^{2} - 3 = 0$ $4 t^{2} - 3 = 0$ ･･････(1)

(1)を因数分解して解くと次のようになる．

$(2 t + \sqrt{3}) (2 t - \sqrt{3}) = 0$ $(2 t + \sqrt{3}) (2 t - \sqrt{3}) = 0$

$t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $t = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ $t = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

$t$ $t$ を元に戻すと

$\cos θ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\cos θ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $\cos θ = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\cos θ = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

となり，これらの2つの方程式を解く．

$\cos θ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\cos θ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ⇒ 解

$\cos θ = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\cos θ = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ⇒ 解

よって

$cos θ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $cos θ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき

$θ = \frac{1}{6} π, \frac{11}{6} π$ $θ = \frac{1}{6} π, \frac{11}{6} π$

$cos θ = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ $cos θ = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき

$θ = \frac{5}{6} π, \frac{7}{6} π$ $θ = \frac{5}{6} π, \frac{7}{6} π$

最終更新日： 2025年3月1日