問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{4-9x^2}}dx}$ 　　

■答

${\displaystyle {\displaystyle {\frac{1}{3}sin}^{-1}\frac{3x}{2}+C}}$　　(C は積分定数)

■ヒント

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx={sin}^{-1}\frac{x}{a}+C}}$　　ここを参照

${\displaystyle \int f\left(ax+b\right)dx=\frac{1}{a}F\left(ax+b\right)+C}$　　ここを参照

の2つの公式を組み合わせて用いる．

■解説

${\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{4-9x^2}}dx}$ 　 　

この問題では，公式の ${\displaystyle x}$は ${\displaystyle 3x}$，${\displaystyle a}$は 2 より，これを公式にあてはめると

${\displaystyle =\int \frac{1}{\sqrt{2^2-{\left(3x\right)}^2}}dx}$

${\displaystyle 4=2^2}$, ${\displaystyle 9x^2={\left(3x\right)}^2}$，${\displaystyle {\displaystyle \int f\left(3x\right)dx}=\frac{1}{3}F\left(3x\right)+C}$

${\displaystyle {\displaystyle ={\frac{1}{3}sin}^{-1}\frac{3x}{2}+\mathrm{C }}}$ 　

■確認問題

求まった答え${\displaystyle {\displaystyle {\frac{1}{3}sin}^{-1}\frac{3x}{2}+C}}$ 　を微分し，積分前の式 　${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{4-9x^2}}}$ 　に戻ることを確認しなさい．

　

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最終更新日： 2024年6月16日

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