不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$\int \frac{1}{\sqrt{4 - 9 x^{2}}} d x$ $\int \frac{1}{\sqrt{4 - 9 x^{2}}} d x$

■解説動画

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■答

${\frac{1}{3} sin}^{- 1} \frac{3 x}{2} + C$ ${\frac{1}{3} sin}^{- 1} \frac{3 x}{2} + C$ ( $C$ $C$ は積分定数)

■ヒント

$\int \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} d x = {sin}^{- 1} \frac{x}{a} + C$ $\int \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} d x = {sin}^{- 1} \frac{x}{a} + C$ ここを参照

$\int f (a x + b) d x = \frac{1}{a} F (a x + b) + C$ $\int f (a x + b) d x = \frac{1}{a} F (a x + b) + C$ ここを参照

の2つの公式を組み合わせて用いる．

■解説

$\int \frac{1}{\sqrt{4 - 9 x^{2}}} d x$ $\int \frac{1}{\sqrt{4 - 9 x^{2}}} d x$

この問題では，公式の $x$ $x$ は $3 x$ $3 x$ ， $a$ $a$ は 2 より，これを公式にあてはめると

$= \int \frac{1}{\sqrt{2^{2} - {(3 x)}^{2}}} d x$ $= \int \frac{1}{\sqrt{2^{2} - {(3 x)}^{2}}} d x$

$4 = 2^{2}$ $4 = 2^{2}$ , $9 x^{2} = {(3 x)}^{2}$ $9 x^{2} = {(3 x)}^{2}$ ， $\int f (3 x) d x = \frac{1}{3} F (3 x) + C$ $\int f (3 x) d x = \frac{1}{3} F (3 x) + C$

$= {\frac{1}{3} sin}^{- 1} \frac{3 x}{2} + C$

■確認問題

求まった答え ${\frac{1}{3} sin}^{- 1} \frac{3 x}{2} + C$ を微分し，積分前の式 $\frac{1}{\sqrt{4 - 9 x^{2}}}$ に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2025年2月21日